Развертка окружности

Можно ли в математической книге, хотя бы и в популярной, говорить, например, о жуках? Оказывается, можно. Но начать придется издалека.

Рис. 78. Развертка окружности.

Окружность, как мы теперь знаем, не имеет эволюты. Все ее нормали пересекаются в одной точке — в центре. Иногда говорят, что эволюта окружности «вырождается» в точку. Но зато эвольвенту она имеет (в чем, впрочем, большой заслуги нет: ведь развертку имеет всякая плавная кривая). Эта эвольвента оказывается близкой родственницей циклоидальным кривым.

Начнем с чертежа. Изготовим из фанеры кружок, укрепим его на бумаге, приклеим к нему нить и навернем плотно эту нить на край нашего кружка.

На конце нити сделаем петельку, в которую просунем острие карандаша (рис. 78). Если будем теперь «сматывать» нить, то карандаш автоматически начертит

Рис. 79 Качение прямой по кругу.

Нить, разумеется, должна быть туго натянута, а карандаш плотно прижат к бумаге.

Развертку окружности можно получить и иначе. Рассмотрим неподвижный круг радиуса с и прямую АВ, касающуюся этого круга в точке (рис. 79).

Рис. 80. Простые качели.

Если прямая АВ будет катиться без скольжения по окружности, то точка опишет, очевидно, развертку окружности. Действительно, для любой точки М этой кривой катящаяся прямая КМ служит нормалью, и длина отрезка КМ равна длине дуги неподвижной окружности.

Эвольвента круга является, таким образом, «циклоидой, вывернутой наизнанку». В случае циклоиды круг катится без скольжения по неподвижной прямой. В случае развертки круга прямая катится без скольжения по неподвижной окружности.

На рис. 80 изображены простейшие качели. На обрубок дерева положена доска АВ так, что ее середина касается обрубка. Что будет, если доску наклонить? Мы знаем, что она вернется в исходное положение, затем по инерции отклонится в другую сторону и будет качаться около положения равновесия. При этом, разумеется, и доска, и обрубок должны быть шероховатыми, иначе доска соскользнет в направлении, указанном на чертеже стрелкой.

Почему доска будет возвращаться в исходное положение? Это нетрудно сообразить. Известно, что всякое тело движется под действием тяжести так, что его центр тяжести опускается. Для ответа на наш вопрос достаточно знать, по какому пути движется центр тяжести (середина) доски при небольших ее отклонениях от положения равновесия.

Но это нам теперь ясно! Середина доски будет описывать дугу развертки окружности. Эта часть развертки изображена на рис. 80 штриховой линией. Мы видим, что при небольших отклонениях доски ее центр тяжести подымается, а потому доска будет возвращаться к положению равновесия. Равновесие будет, очевидно, устойчивым.

Родство развертки круга с циклоидальпыми кривыми можно обнаружить и другим путем. Мы уже говорили, что в случае эпициклоид пли гипоциклоид (рис. 66) неограниченное возрастание радиуса неподвижного круга при неизменном радиусе подвижного приводит к циклоиде. Если мы обратимся к перициклоиде (стр. 50) и, оставив неизменным радиус неподвижного круга, будем неограниченно увеличивать радиус подвижного, так сказать, «выпрямляя» его (рис. 81), то перициклоида превратится в развертку круга.

Мы не будем здесь приводить вывода формул для длины дуги эвольвенты круга и площади ее сектора.

Приведем готовый результат (рис. 82). Для длины l дуги развертки и для площади S сектора будем иметь;

Эти формулы интересны тем, что величину входящего в них угла приходится возводить во вторую и в третью степень — обстоятельство, которое может смутить новичка.

Рис. 81. Неограниченное увеличение подвижного круга.

Рис. 82. Длина дуги и площадь сектора эвольвенты круга.

Подчеркиваем еще раз, что при этом угол должен быть выражен непременно в радианах. Если угол выражен в градусах и равен, например, (а градусов равны радианам), то формулы примут следующий вид:

Обратим внимание читателей на то, что угол радиан (или а градусов) — это угол нашего чертежа, а вовсе не угол сектора эвольвенты!

Жук-математик

Возьмем бумажный кружок (рис. 83), разрежем его от края к центру (например, по радиусу НО) и свернем сектор НОК в трубочку, как показано на рисунке.

Трубочка получится очень аккуратная: ведь она представляет собою коническую поверхность, причем все образующие этой поверхности, как радиусы одного и того же круга, между собою равны.

Рис. 83. Склеивание бумажного конуса.

Если бы мы разрезали кружок так, как показано на рис. 84, то трубка получилась бы неаккуратная: образующие конической поверхности были бы не равны между собою.

Возьмем теперь листок, ограниченный не окружностью, а какой-то другой плавной кривой, например, такой, как изображено на рис. 85. Если взять любую точку внутри листка, например, точку О, сделать разрез по ОН и свернуть трубку, то трубочка получится плохая, потому что образующие конической поверхности будут разной длины. И как бы мы ни выбирали точку О, нам хорошей трубки получить не удастся, потому что ни у какой кривой, кроме окружности, нет точки, равноудаленной от всех остальных ее точек.

Рис. 84. Плохая трубка.

Что ж? Будем хитрить! Возьмем какую-нибудь точку Н на краю листа (рис. 85) и наметим небольшую дугу НК. Будем считать эту дугу дугой окружности и найдем центр этой окружности. С этой целью проведем в точках Н и К нормали. Точка пересечения Т нормалей будет искомым центром. Далее, рассмотрим дугу КМ. Ее тоже можно без большой погрешности считать дугой окружности, но центр этой окружности не совпадет с проведя нормали к контуру листа в точках К и М, мы найдем точку их пересечения не совпадающую с точкою Т.

Поступая таким образом и дальше, мы получим точку и вообще — целый ряд центров, около которых нужно заворачивать листок, чтобы получить аккуратную трубочку.

Рис. 85. Как разрезать лист?

Остается сделать последний шаг: перейти от ломаной линии центров к непрерывной кривой, чтобы обеспечить вполне гладкую трубочку, свободную от зазубрин. Ясно, что для этого достаточно заменить ломаную звенья которой соединяют точки пересечения «соседних» пар нормалей, плавной кривой — огибающею этих нормалей, т. е. кривой ТР, изображенной на рис. 86.

Но огибающей нормалей является, как мы знаем, эволюта данной кривой.

Значит, для того чтобы свернуть из листа наиболее аккуратную трубочку, нужно предварительно разрезать лист сначала по куску НТ нормали, а затем — по эволюте ТР его контура.

Рис. 86. Как избавиться от зазубрин?

И вам, читатель, и мне, и кому-нибудь еще вряд ли понадобится свертывать в трубки листочки бумаги (свертывание папироски — «козьей ножки» — не в счег: при этом ведь не нужно заботиться, чтобы все образующие были равной длины!). Поэтому практическая ценность разобранной нами сейчас задачи ничтожна. Но вот что интересно: существует жук, вернее, несколько пород жуков, которые изготовляют для своего будущего потомства домик из листа, свертывая его в трубку.

Эта трубка должна быть прочной и аккуратной. Ее не должны растрепать ветры и ливни, она не должна своим живописным видом и величиной привлекать врагов. И наш жучок-листоверт (жуки из родов Rhynchites, Byctiscus и др.) прекрасно решает сложную математическую задачу. Он прогрызает лист по эволюте контура и лишь после этого свертывает его. На рис. 87 изображен березовый листоверт (в натуральную величину) и разрезанный (вернее, прогрызенный) им лист.

Рис. 87 Березовый листоверт (натуральная величина).

Рис. 88. Виноградный листоверт и его трубка (увеличено в 2 раза).

На рис. 88 изображен увеличенный в два раза виноградный листоверт и его трубочка.

Разумеется, жучок-геометр решает эту далеко не простую задачу совершенно бессознательно. В течение многих лет естественный отбор сохранял преимущественно тех жучков, домики которых были особенно аккуратны. В результате возник инстинкт, передающийся по наследству из поколения в поколение. Этот инстинкт заставляет насекомое, не зная геометрии, решать сложную геометрическую задачу. Заметим, что другое, более известное насекомое — пчела — тоже решает (бессознательно, разумеется) не менее сложную задачу: построить соты так, чтобы при заданном числе и емкости ячеек их поверхность была наименьшей.

При этих условиях достигается наиболее экономное использование строительного материала (воска).