ГЛАВА VI. УДИВИТЕЛЬНАЯ ЛЕДЯНАЯ ГОРА

«Посредине двора Ледяная гора Возвышается!» И. Белоусов.

Задача о брахистохроне

На рис. 95 (стр. 94) изображена замечательная ледяная гора: спортсмены, стартующие на разной высоте, прибывают к ее подножью в одно время. Но возможна ледяная гора в некотором отношении еще более замечательная, по крайней мере для математиков и физиков. Изучение этой горы сыграло важную роль в истории науки, и потому она заслуживает упоминания.

Сознаюсь честно: никогда в юности мне не приходил в голову вопрос — какова должна быть форма горы, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из в А (рис. 95) в кратчайшее время? Ведь кратчайшим путем служит прямая линия . По ней и нужно двигаться! Вероятно и читателям вопрос кажется очевидным и малоинтересным? Но это далеко не так. Здесь мы встречаемся с одной из самых любопытных задач в истории математики и на ней остановимся более подробно.

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 99). Гипотенуза его АВ — ледяная гора, длина которой 20 метров, высота ВС — 12 метров.

Вычислим время, в течение которого салазки скатятся с вершины В горы к ее подножью А. При этом трение, как обычно, учитывать не будем.

Рис. 99. Как быстрее скатиться?

В результате тщательных наблюдений Галилей установил следующий закон: время движения тела по наклонной плоскости под действием одной тяжести так относится к длине пути, как время падения с той же высоты к самой высоте. Эту формулировку можно заменить такой, вполне ей равносильной: время, в течение которою тело скатывается под действием силы тяжести по наклонной плоскости, равно времени свободного падения с той же высоты, деленному на угла между наклонной плоскостью и горизонтом. Читатели без труда докажут равносильность обеих формулировок; для этого достаточно взглянуть внимательнее на рис. 99.

Галилей установил этот закон опытным путем. Но его легко вывести из закона свободного падения, применяя правило разложения силы.

Итак, начнем с того, что вычислим время свободного падения тела из точки В в точку С. Мы знаем, что пройденный при свободном падении путь ВС выражается через ускорение силы тяжести () и время t так:

Отсюда для времени t получаем:

потому что

Теперь нетрудно найти время Т, в течение которого салазки скатятся по наклонной плоскости: для этого достаточно разделить найденное значение t (1,57) на синус угла или, что то же самое, помножить t на

Получим:

Итак, салазки скатятся с горы за 2.61 секунды.

Допустим далее, что салазки из В в А катятся не по горе ВА, а более сложным путем. Сначала они катятся по более крутой горе BE, а затем отрезок пути ЕА — продолжают катиться по инерции со скоростью, приобретенной за время спуска (которую легко вычислить). Путь из В в Е займет время, равное времени падения с высоты 12 м, деленному на синус угла умноженному на т. е. секунды. К этому времени нужно добавить время движения по инерции (на отрезке ). Скорость, приобретенная салазками, когда они достигли точки Е, вычисляется путем сравнения потерянной потенциальной энергии и приобретенной кинетической

Откуда

Чтобы найти время движения салазок по инерции от Е до А, нужно путь (7 метров) разделить на скорость ведь движение по инерции — равномерное:

Складывая время «скатывания» по горе BE (1,96 с) и время движения по инерции (0,46 с), получим общее время движения по ломаной ВЕА. Оно оказывается равным с, т. е. оказывается меньше, чем время спуска по наклонной ВА. Хотя прямая АВ и является кратчайшим расстоянием между В и А, но не она является линией «наименьшего времен и»: с этой точки зрения ломаная BEА является как бы «более короткой».

Оно и понятно: потеря в пути более чем вознаграждается выигрышем в скорости, полученным за счег большей крутизны спуска.

Эти соображения наводят на мысль, что самым выгодным в смысле экономии времени будет, казалось бы, путь по ломаной ВСА: сначала салазки падают вдоль отвесной горы далее небольшое закругление (оно показано на рис. 99 пунктиром) меняет по возможности плавно их направление; а потом они катятся по инерции вдоль прямой СА, сохранив большую скорость.

Не будем гадать, лучше займемся вычислением! Время свободного падения салазок вдоль катета ВС мы уже вычислили: ведь это — наше t, равное 1,57 с. Скорость в точке С вычисляется из сравнения потерянной потенциальной и приобретенной кинетической энергии: она равна как мы тоже вычислили. Поделив путь (16 м) на скорость, получим время

Прибавив к этому время падения (1,57 с), получим полное время движения по ломаной ВСА:

Оказывается, что этот путь невыгоден: он — такой же продолжительный, как путь по прямой ВА, и, значит, заметно дольше пути по ломаной ВЕА. Из трех разобранных нами путей самым кратковременным (хотя и не самым коротким) оказался путь по ломаной ВЕА.

Но является ли точка Е (рис. 99) «наивыгоднейшей» точкой? Обеспечивает ли она наибольшую экономию времени? Или найдется некоторая точка М (рис. 100), такая, что путь по ВМА, изображенный штриховой линией займет еще меньше времени? А может быть, вершина ломаной должна лежать не на прямой СА, а где-нибудь внутри треугольника ABC, и наивыгоднейшим по времени путем будет ломаная BDA, изображенная штрих-пунктирной линией ?

Или, наконец, решение даст кривая линия, изображенная пунктиром ? И как найти такую кривую?

Одним словом, возникает задача: через точки В и А, лежащие на различной высоте над уровнем земли, провести кривую линию, при движении по которой под действием тяжести тело пройдет из В в А в кратчайшее время. Искомую кривую назвали «брахистохроной», т. е. «кривой кратчайшего времени».

Рис. 100. Какой путь выбрать?

Если точки В и А лежат на одной вертикали, то брахистохроной является, очевидно, прямолинейный отрезок. Но что будет, если точки А и В не лежат на одной вертикали, если они расположены как в разобранной нами только что задаче о треугольнике? В этом случае вопрос не ясен, а потому мы займемся брахистохроной подробнее.

До сих пор мы говорили об ученых — Галилее, Паскале, Робервале, Торичелли и других, — которые своими работами подготовили создание Ньютоном w Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Знаменитые братья Бернулли: Якоб (1654-1705) и Иоганн (1667—1748) принадлежат к иному поколению ученых. Они первые оценили могущество и красоту новых методов Ньютона и Лейбница и принялись энергично за их разработку и за расширение области их применения. Они же были первыми глашатаями новых идей в математике, первыми пропагандистами замечательных методов дифференциального и интегрального исчисления. Само слово «интеграл» было введено в науку Якобом Бернулли.

В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне. Ниже мы расскажем, чем именно трудна эта задача и почему она была особенно интересна. Иоганн Бернулли опубликовал ее без решения, приглашая лучших математиков заняться ею.

Четверо ученых решили эту задачу: Лейбниц, Ньютон, де-Лопиталь и Якоб Бернулли. Решение Якоба Бернулли было наиболее интересным и сыграло выдающуюся роль в истории математики.

Для того чтобы разобраться в вопросе о брахистохроне, нам придется сделать экскурсию в сторону: придется вспомнить кое-что из оптики.