Циклоидальный маятник

Гюйгенс задумался над тем, как использовать таутохронное свойство циклоиды для устройства «совершенного» маятника? Обыкновенный маятник сделать совсем просто: достаточно привязать тяжелый шарик к нитке и закрепить другой ее конец (рис. 96). Центр тяжести маятника будет двигаться по окружности. Нить можно заменить прочным тонким стерж нем. Но как заставить шарик маятника двигаться таутохронно, не прибегая к желобкам и тому подобным приспособлениям с большим трением? Как заставить шарик на нити двигаться по циклоиде? Размышляя об этом, Гюйгенс пришел к понятиям об эволюте и эвольвенте.

Изготовим (например, из дерева) шаблон, состоящий из двух одинаковых полуарок циклоиды, имеющих общую точку возврата О (рис. 97). Радиус производящего круга циклоиды обозначим, как всегда, через а. Шаблон укрепим вертикально, и в точке возврата О привяжем ннть, по длине равную 4а — т. е. удвоенному диаметру производящего круга циклоиды. Свободный конец нити Т снабдим тяжелым шариком.

После того, что мы говорили об эволютах и эвольвентах, ясно, что шарик будет описывать при своем движении развертку циклоиды АСОЕВ, потому что пить будет наматываться на шаблон (сравни рис. 97 с рис. 89 на стр. 80). Но раз-Еерткои циклоиды служит, как мы знаем, точно такая же циклоида. Значит, кривая ВМТРА, по которой движется шарик, будет циклоидой, порожденной кругом радиуса а.

Рис. 96 Круговой маятник.

Рис. 97. Циклоидальный маятник.

Если мы поместим шарик в произвольную точку М и предоставим самому себе, он начнет совершать колебания, причем период этих колебаний не будет зависеть от выбора точки М.

Если даже, под влиянием трения и сопротивления воздуха, размах колебаний будет уменьшаться, время колебания маятника останется неизменным. Поистине этот маятник будет таутохронным! Подумайте сами, как приспособить такой маятник к регулированию хода часов.

Рассмотрим теперь малые колебания маятника по дуге А В циклоиды (рис. 98). Если эти колебания очень малы, то влияние направляющего шаблона практически не будет ощущаться и маятник будет двигаться почти как обыкновенный маятник длиною , подвешенный в точке О.

Рис. 98. Малые колебания кругового маятника.

Путь А В циклоидального маятника практически не будет отличаться от пути СЕ кругового маятника длины 4а. Значит, и период, малых колебаний обыкновенного кругового маятника длиною не будет практически отличаться от периода циклоидального маятника. Вводя в формулу

с которой мы познакомились выше, вместо а равную ему величину получим выражение периода малых колебаний кругового маятника через его длину:

Это — формула физики, известная любому школьнику.