Основные свойства развертки

При вычерчивании эвольвенты некоторой кривой нить должна быть все время туго натянута. Благодаря этому отрезок нити СМ всегда направлен по касательной к кривой в точке С (рис. 74). При движении нити конец карандаша как бы описывает небольшую дугу окружности радиуса СМ с центром в С. Правда, когда нить развернется чуть-чуть больше и точка М перейдет в точку конец карандаша будет двигаться уже по другой окружности, именно — по окружности с центром в Е. Эвольвенту можно представлять себе как окружность, радиус которой все время меняется, а центр скользит по кривой АВ. Но в каждый момент времени точку касания можно считать центром бесконечно малой дуги окружности, совпадающей с бесконечно малой дугой развертки.

Рис. 71. Основное свойство эвольвенты.

Точку С так и называют — мгновенный центр, или центр кривизны эвольвенты. Таким образом, всякая кривая линия является геометрическим местом центров кривизны своей собственной развертки (эвольвенты).

Так как бесконечно малая дуга эвольвенты МК «сливается» с бесконечно малой дугой окружности радиуса СМ с центром в С, то касательная к эвольвенте в точке М будет перпендикулярна к мгновенному радиусу СМ. Получается важный результат: направление эвольвенты (т. е. касательной к ней) перпендикулярно касательной к исходной кривой. Отсюда вытекает следствие: нормаль к развертке служит касательной к исходной кривой.

Можно сказать и так: эвольвента пересекает все касательные к данной кривой под прямым углом. Это — очень важное свойство эвольвенты, и на нем стоит задержаться. На рис. 75 изображена (сплошной линией) кривая АВ и несколько ее касательных (в разных точках).

На этом рисунке показано, что найдется не одна, а бесчисленное множество кривых (они начерчены штриховыми линиями), пересекающих все эти касательные под прямым углом. Каждая из этих кривых служит эвольвентой (разверткой) кривой АВ. Действительно, если на кривую АВ намотана нить, закрепленная в точке А, с карандашом в точке В, то при разматывании этой нити карандаш опишет кривую. Но карандаш можно было закрепить в любой промежуточной точке нити, например — в точках С, D, Е и других, и тогда он описал бы любую из штриховых кривых, пересекающих под прямым углом касательные к кривой АВ. Все эти штриховые кривые равноправны, каждую из них можно считать разверткой линии АВ. Этот результат можно сформулировать так: плавная кривая имеет не одну, а бесчисленное множество эвольвент.

Рис. 75. Семейство эвольвент.

Внимательный взгляд на рис. 75 наводит нас еще на одну мысль. Мы видим, что все развертки данной кривой между собой «параллельны» — параллельны в том смысле, что отрезки касательных к кривой А В между двумя развертками все между собою равны, совершенно так же, как отрезки перпендикуляров между параллельными прямыми.

Практически наиболее важным будет следующее свойство эвольвенты, непосредственно вытекающее из самого построения этой кривой. Длина дуги ВС рис. 72 (на стр. 67) равна прямолинейному отрезку СМ. Ведь кусок СМ нерастяжимой нити был плотно навернут на дугу СВ. Отсюда вытекает следующая теорема: длина дуги кривой линии равна отрезку касательной от точки касания до пересечения касательной с соответствующей эвольвентой. Точнее, длина дуги АВ равна отрезку касательной (в точке А) между точкою касания и эвольвентой, проходящей через точку В.

До сих пор мы занимались следующей задачей: дана кривая, найти (т. е. построить) ее эвольвенту. Но можно поставить и обратную задачу: дана кривая; найти другую кривую, для которой данная кривая служит разверткой.

Для решения этой новой, обратной задачи воспользуемся тем, что нормаль к развертке является касательной к исходной кривой. Проведем несколько нормалей к данной кривой — эвольвенте некоторой кривой, пока еще неизвестной. Чем больше мы проведем нормалей, тем чертеж будет точнее. На рис. 76 построено семь таких нормалей.

Кстати укажем удобный прием для построения нормалей.

Рис. 76. Как по эвольвенте найти саму кривую?

Пусть нужно построить нормаль к кривой АВ (рис. 77) в точке М. Возьмем небольшое зеркальце с ровным прямолинейным краем (еще лучше взять блестящую металлическую линейку). Поставим это зеркальце перпендикулярно к бумаге, гладким краем вниз, так, чтобы этот гладкий край проходил через точку (правое положение зеркала на рис. 77). При этом правая часть кривой отразится в зеркале, причем в точке М получится излом (кривая и ее отражение встретятся в точке М под некоторым углом, как это изображено на нашем чертеже — в точке Р). Будем осторожно поворачивать зеркало, пока кривая и ее отражение не сольются в плавную линию (без угла), как это изображено на нашем чертеже справа — при точке М. Теперь можно смело провести карандашом прямую по линейке — зеркалу: эта прямая и будет искомой нормалью.

Научившись строить нормали, вернемся к рис. 76, на котором изображено семь нормалей.

Остается начертить кривую линию, которая касалась бы всех этих нормалей — иными словами, огибающую всех этих нормалей (вспомним, что уже на рис. 20 мы имели дело с огибающей нормалей). Ясно, что наша первоначально взятая кривая будет разверткой вновь построенной кривой. Поставленная задача, таким образом, решена: мы по заданной кривой АВ построили такую новую кривую, для которой сама заданная кривая является эвольвентой.

Рис. 77. Построение нормали с помощью зеркала.

Огибающая нормалей служит важным вспомогательным средством при изучении свойств кривой линии. Ее называют эволютой данной кривой. Таким образом, каждая кривая является эволютой собственной развертки, и, обратно, всякая кривая является одной из разверток своей эволюты. Отношение между эволютой и эвольвентой с логической точки зрения то же, что между, например, квадратом числа и квадратным корнем: если число а есть квадрат числа b, то число b есть один из квадратных корней из числа а.

Мы видели, что всякая плавная кривая имеет бесконечное множество «параллельных» между собой эвольвент. Это было ясно из построения эвольвенты с помощью натянутой нити. Не так ясно обстоит дело с эволютой. Для всякой ли кривой можно построить огибающую семейства нормалей? Ученые XVII века доказали, что для всех тех кривых, с которыми им приходилось иметь дело, существуют эволюты. Немного ниже мы докажем, что циклоида имеет вполне определенную эволюту. Но как обстоит дело в общем случае? Будет ли это справедливо для любой кривой?

Ответить на подобные вопросы элементарная математика бессильна. Но высшая математика доказывает, что каждая плавная кривая имеет единственную эволюту. Исключение составляют только такие линии, все нормали которых либо пересекаются в одной точке, либо такие, все нормали которых параллельны между собою. Кривой, все нормали которой пересекаются в одной точке, является окружность (нормалями к окружности служат радиусы, которые, как известно, перпендикулярны к касательным). Линией же, все нормали которой параллельны между собой, является прямая: она совпадает с собственной касательной в любой точке и нормалями к ней служат параллельные между собою перпендикуляры, восставленные в различных точках этой прямой. Окончательно общему предложению можно дать следующую формулировку: любая плавная линия, кроме прямой и окружности, имеет одну единственную эволюту.