ГЛАВА III. РОДСТВЕННИЦЫ ЦИКЛОИДЫ

«Как Вам доводится Настасья Николавна?»

А. С. Грибоедов.

Укороченные и удлиненные циклоиды

Когда автор пьесы или романа хочет лучше охарактеризовать своего героя, он часто говорит о его родных. В некоторых случаях знание родных и знакомых позволяет полнее разобраться в характере человека. Мы тоже на время оставим саму циклоиду и перейдем к ее ближайшим рэдичам. Если производящий круг и направляющая прямая играют, в известном смысле, роль «родителей» циклоиды, то кто же ее братья и сестры?

Рис. 34. Движение внутренней и внешней точек производящего круга.

На рис. 34 изображен производящий круг, «готовый к старту». Сейчас его точка опишет красивую циклоиду. А какая судьба ожидает точки ? Точка лежит не на окружности производящего круга, а где-то внутри него. Точка — внешняя точка, жестко связанная с катящимся кругом.

Можно вообразить, например, эту точку на ободе (реборде) вагонного колеса, как это изображено на рис. 35. Подобно внутренней точке, эта внешняя точка будет двигаться вместе с колесом и опишет некоторую кривую.

Этими кривыми, описанными внешними и внутренними точками катящегося круга, мы теперь займемся.

Рис. 35. Как движутся точки рельсового обода?

Внутренняя точка производящего круга описывает при его движении кривую, называемую «укороченной циклоидой». Проведем через точку вспомогательную окружность (рис. 36).

Рис. 36. Укорочсичая циклоида.

Когда производящий круг катится по прямой АВ, маленькая окружность будет катиться по прямой АВ, но ее качение будет сопровождаться скольжением; мы говорили уже об этом, когда разбирали парадокс Аристотеля (стр. 12). Итак, можно сказать, что укороченная циклоида описывается точкою окружности круга, который катится по направляющей прямой со скольжением.

Подобно этому, внешняя точка круга описывает так называемую «удлиненную циклоиду». И на удлиненную циклоиду можно смотреть как на кривую, порожденную точкой окружности катящегося круга. Но это качение должно сопровождаться скольжением в противоположном направлении.

Читатели сами придумают способы построения по точкам укороченной и удлиненной циклоид. Нетрудно сконструировать и демонстрационные приборы, подобные изображенному на рис. 5. Мы не будем разбирать этого подробно и сразу нарисуем укороченную и удлиненную циклоиды «в готовом виде» (рисунки 36 и 37). Укороченная циклоида отдаленно напоминает синусоиду, а удлиненная представляет собою красивую кривую с петлями.

Рис. 37. Удлиненная циклоида.

В наше время за укороченными и удлиненными циклоидами сохранилось имя «трохоиды», которым в старину французские ученые называли все кривые, связанные с качением круга по прямой, в том числе и обыкновенную циклоиду.

Касательными к укороченным и удлиненным циклоидам занимались наши знакомые: Торичелли, Кавальери, Роберваль, Декарт. Рен установил, что длина дуги этих кривых равна длине дуги некоторых эллипсов, которые нетрудно построить, если даны основания и производящие круги циклоид. Мы не будем на этом останавливаться.

Скажем только два слова об известном шуточном вопросе: какие точки железнодорожного вагона движутся в сторону, противоположную движению самого вагона? Ответ теперь ясен: это будут нижние точки ободьев (реборд) его колес (точка Е на рис. 38).

Если вагон катится направо, то нижняя часть обода колеса смещается налево, причем направление движения самой нижней точки реборды противоположно движению центра колеса.

Рис. 38. Ответ на шуточный вопрос.

Взгляните теперь на известную всем игрушку — «ваньку-встаньку». Она изображена на рис. 39. Нижняя часть болванчика имеет форму полушара, верхняя — нам безразлична. В нижнюю часть фигурки налит свинец, а потому ее центр тяжести расположен очень низко (точка М на рис. 39).

Рис. 39. Ванька-встанька.

Если фигурку наклонить, ее центр тяжести опишет дугу укороченной циклоиды: ведь здесь, в сущности, мы имеем дело с движением внутренней точки круга, катящегося по прямой.

Если наклоненную фигурку предоставить самой себе, то она будет двигаться так, чтоб ее центр тяжести возможно ниже опустился, а это и значит, что «ванька-встанька» будет возвращаться к вертикальному положению (вставать).