Таутохронная кривая Гюйгенса

Не пугайтесь, читатели, страшного греческого слова. «Таутохрона» значит попросту «равновременная». Так назвал Гюйгенс кривую, которую он начал разыскивать, т. е. такую кривую, по которой должен двигаться центр тяжести маятника, для того чтобы период его качания не зависел от величины размаха.

Рис. 94 К теории циклоидального маятника.

Поиски увенчались успехом: таинственная таутохрона оказалась незадолго перед тем изученной циклоидой. При этом Гюйгенс проявил исключительное остроумие. Достаточно сказать, что учение об эволютах было создано в процессе решения именно этой задачи.

Гюйгенс рассуждал следующим образом. Представим себе желобок в форме циклоиды, как это изображено на рис. 94. По этому желобку катится тяжелый шарик М.

Мы рассмотрим идеальный случай, — тот случай, когда трение и сопротивление воздуха отсутствуют.

Обозначим точки возврата циклоиды через а радиус производящего круга через а. Начертим круг радиуса а, касающийся циклоиды в вершине (круг с центром О) и производящий круг в положении, соответствующем точке М циклоиды (дан штриховой линией). Допустим, что мы положили шарик в точку желобка и отпустили его без толчка. Под действием тяжести он покатится вниз. Изучим его движение.

Какова будет скорость шарика, когда он опустится до точки М циклоиды? Это нетрудно подсчитать. Опустившись из точки в точку М, шарик израсходует некоторое количество потенциальной энергии. Эта потеря энергии равна произведению веса шарика ( — масса шарика, g — ускорение силы тяжести) на «потерю высоты», т. е. на разность выст шарика в положениях М, и М, причем высоты отсчитываются от какого-то определенного уровня, напри мер, от уровня земли. От какого уровня отсчитывать высоты, разность их в нашем случае будет равна отрезку НМ. Итак, потеря потенцнальной энергии шарика будет равна

Но в силу закона сохранения энергии потерянная потенциальная энергия шарика превратится в кинетическую энергию его движения, равную, как известно, если через v обозначить пока неизвестную скорость шарика. Приравнивая эту кинетическую энергшо потерянной потенциальной, получим уравнение

из которого сразу находим значение искомой скорости

Направление этой скорости тоже определить нетрудно. Она будет направлена по касательной к циклоиде, т. е. по хорде ML (рис. 94), где L — «наинизшая» точка производящего круга.

Нас будет интересовать не столько сама скорость v, сколько ее вертикальная проекция, т. е. «скорость опускания шарика», скорость изменения его высоты.

Эту вертикальную проекцию легко вычислить: она равна а, где а — угол между хордой ML и вертикалью. Хорда АТ круга с центром О, очевидно, равна и параллельна хорде ML, а потому угол LMP равен КАТ, что и отмечено на рис. 94. Итак:

Неравномерное движение по циклоиде, с которым мы пока совершенно незнакомы, будем сравнивать с равномерным движением по окружности, которое подробно изучается в школе. С этой целью построим вспомогательную окружность. Гюйгенс предложил строить эту окружность так: через вершину А циклоиды проводится перпендикуляр AD (диаметр круга с центром О), а через начальную точку движения шарика проводится параллель к ее основанию. Пусть точка пересечения этих параллели и перпендикуляра будет обозначена буквою В. Окружность, построенная на АВ, как на диаметре, и будет искомой вспомогательной окружностью. Пока неясно, чем именно она лучше других окружностей. Это выяснится постепенно, при изложении хода мыслей Гюйгенса.

Начнем с того, что вертикальную слагающую скорости движения шарика свяжем с элементами вспомогательной окружности. Имеем:

потому что . Из треугольника АКТ получим:

Но , а потому или

Подставим найденное значение косинуса в выражение для МР, отмеченное звездочкой . Получим:

Последний корень равен средней пропорциональной между отрезками ВК а АК, т. е. между отрезками гипотенузы АВ треугольника ABC, на которые последняя разделяется высотою СК. Но эта средняя пропорциональная, по известной теореме о пропорциональных линиях в прямоугольном треугольнике, равна как раз высоте СК:

Поэтому для вертикальной составляющей МР скорости движения шарика по циклоиде получим окончательно:

Величины а и g даны нам с самого начала и не связаны ни с точкою М, ни с ее начальным положением Таким образом, движение шарика по циклоиде вполне определяется хордою КС вспомогательной окружности, т. е. в конечном итоге положением точки С на этой окружности.

Рассмотрим равномерное движение точки С по вспомогательной окружности с угловой скоростью

У а радианов в секунду, т. е. градусов в секунду. При этом скорость точки С но окружное! и будет равна произведению радиуса окружности на угловую скорость, выраженную в радианах (в секунду), т. е. равна

Чему равна вертикальная составляющая этой скорости? Иными словами, с какой скоростью опускается точка С, с какою скоростью меняется ее расстояние от прямой при равномерном движении точки С по окружности? Это нетрудно подсчитать.

Скорость движения точки окружности направлена по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно радиусу. Ее проекция на вертикаль равна самой скорости w, умноженной на косинус угла (5 (рис. 95). Но угол равен, очевидно, углу КСО оба получаются путем вычитания угла из прямого угла. Косинус угла равен КС

Для вертикальной проекции скорости равномерного движения по окружности находим:

Получается замечательный результат: когда точка движется равномерно по окружности, ее проекция на вертикаль движется точно так же, как проекция на вертикаль шарика, катящегося по циклоиде. Проекции обеих скоростей в любой момент времени равны друг другу. Но отсюда следует, что точка окружности из В в Л и шарик на циклоиде из в А придут в одно время. Это время легко определить. Мы говорили уже, что точка на вспомогательной окружности делает радианов в секунду, иными словами, на один радиан она повернется за — секунд, а на радианов (на полуокружность) - за

Точно такое же время нужно и нашему шарику, чтобы скатиться по циклоиде из точки в точку А. Такое же время понадобится ему, чтобы по инерции подняться до точки такое же — чтобы снова спуститься, и такое же — чтобы подняться и вернуться в исходное положение (в точку ). Значит, время полного колебания шарика (период колебания) будет равняться

Это — весьма замечательная формула. Мы видим, что период движения шарика по циклоидальному желобку вполне определяется размерами желобка (радиусом производящего круга циклоиды) и ускорением силы тяжести. Положение точки на циклоиде, ее расстояние от прямой не имеет никакого значения. С какой бы точки циклоиды ни начинал движения шарик, период его колебания будет один и тот же.

Именно за это циклоиду называют «кривой равных времен» — таутохроной.

Забудем ненадолго маятник и посмотрим на рис. 95. На нем изображена ледяная гора, и не простая ледяная гора, а изогнутая по циклоиде. На разной высоте (в пунктах К, Н, Р) стоят готовые к старту салазки. Одновременно по команде эти салазки начинают скользить.

Рис. 95. «Таутохронная» гора.

Кто первый достигнет цели? Не спешите с ответом и не венчайте лаврами «спортсмена» К? Лучше вспомните то, что сейчас было рассказано о движении по циклоиде. Тогда вам станет ясно, что все трое достигнут точки А одновременно: ужасное столкновение неизбежно!