Эпициклоиды с бесконечным множеством арок

До сих пор мы считали, что радиус неподвижного круга в целое ччело раз больше радиуса подвижного. Но можно представить себе, что радиус неподвижного круга в или в раза больше чем радиус подвижного. В случае эпициклоид можно рассматривать и тот случай, когда больший круг катится по меньшему. Иными словами, отношение радиусов неподвижного и подвижного кругов может быть дробным числом, причем для гипоциклоид — это неправильная дробь, а для эпициклоид может быть кал неправильной, так и правильной дробью.

На рис. 67 изображена эпициклоида, у которой неподвижный радиус в полтора раза больше подвижного, т. е. Нетрудно сообразить, что полному обороту подвижной окружности соответствует на неподвижной окружности дуга 240°. Точка М опишет три петли прежде чем вернется в точку

Несмотря на свой необычайный, «запутанный» вид, эта кривая является самой настоящей эпициклоидой: нормаль в каждой ее точке проходит через точку касания неподвижного и подвижного кругов, длина ее арки и площадь между аркой и окружностью неподвижного круга вычисляются по формулам, приведенным на стр. 47—48 при — только о всей площади, ограниченной этой кривой, говорить нет смысла: ведь полученные арки будут несколько раз пересекаться друг с другом.

На рис. 68, а, б, в и г изображено несколько эпициклоид и гипоциклоид с различными дробными значениями числа .

Рис. 67. Самопересекающаяся эпициклоида.

Рассматривая эти чертежи, нетрудно прийти к следующему выводу. Если отношение , а радиусов неподвижного и подвижного кругов эпициклоиды равно несократимой дроби , то подвижный круг должен сделать оборотов (обегая при этом q раз неподвижную окружность), для того чтобы точка М вернулась в положение . При этом кривая замкнется. Она будет с остриями и с точками самопересечения. На рис. 69 изображена эпициклоида, у которой отношение равно . У нее точек самопересечения и 5 точек возврата. Точно так же у изображенной на рис. 70 эпициклоиды, у которой имеется 2 точки возврата (острия) и точки самопересечения. Наконец, у эпициклоиды, изображенной на рис. 67, — три острия и три точки самопересечения, как это и вытекает из общей формулы.

Заметим, что все эти эпициклоиды касаются изнутри круга, концентрического неподвижному кругу и имеющего радиус, равный сумме радиуса неподвижного и диаметра подвижного круга. Эти кривые лежат целиком внутри кольца, образованного двумя концентри ческими окружностями.

Рис 68. Эпициклоиды и гипоциклоиды при дробных эначениях

Рассмотрим теперь наиболее интересный случай - случай эпициклоиды, у которой отношение радиусов подвижного и неподвижного кругов иррационально. На рис. 71 изображен неподвижный круг, радиус которого равен диагонали квадрата, построенного на радиусе подвижного круга. Иными словами, отношение есть число иррациональное.

Радиусы неподвижного и подвижного кругов — несоизмеримы, и их отношение невозможно выразить рациональным числом. Поэтому эпициклоида, порожденная этими кругами, никогда не замкнется.

Рис. 69. Эпициклоида при

Рис. 70. Эпициклоида при

Рис. 71. Эпициклоида с несоизмеримым отношением радиусов подвижного и неподвижного кругов.

Конца ее петлям не будет. У нее будет бесконечное число точек возврата и точек самопересечения. На рис. 71 изображена, разумеется, только часть этой интересной кривой.

Мало тсго. Каша кривая, делая бесконечное число петель, будет все плотнее и плотнее заполнять кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями.

Заполнят ли точки кривой все кольцо? Будет ли за петлями этой кривой линии просвечивать бумага? Иными словами, можно ли утверждать, что наша кривая, сделав достаточное количество петель, пройдет через любую, наудачу указанную точку кольца, например, — точку ? Очень хочется сказать, что да. Но это, как оказывается, совссм не так. Существуют точки кольца (и таких точек бесконечно много!), через которые наша кривая не пройдет: все-таки бумага будет просвечивать

При этом вот что любопытно К любой токе кольца кривая наша может подойти как угодно близко. Если мы ответим произвольную точку А внутри кольца и выберем какой-нибудь очень маленький отрезок, равный, например, 0,001а, то наша кривая, сделав достаточное число петель, подойдет к точке А ближе чем на это малое расстояние. Если мы зададимся расстоянием в 0,000 001 о или даже 0,000 000 001а, то и в этих случаях кривая рано или поздно приблизится к точке А ближе чем на такое расстояние. Эту мысль выражают коротко, говоря, что точки кривой заполняют кольцо всюду плотно. Получается результат, который может показаться парадоксальным: с одной стороны, существуют и притом в бесконечном количестве — точки кольца, недоступные кривой; а с другой — точки кривой заполняют кольцо всюду

плотно!

Чтобы «раскрыть» этот парадокс, пришлось бы прибегнуть к тому разбору понятия бесконечности, о котором мы упоминали, когда речь шла о парадоксе Аристотеля (стр, 12). Здесь нет возможности останавливаться на этом. Заметим только, что существуют и такие кривые линии, которые проходят через все без исключения точки, находящиеся внутри замкнутой линии — например, некоторого квадрата. Наглядно представить себе это невозможно, но доказать существование таких кривых и изучить их свойства — вполне доступно для современной математики.

Мы отошли от основной темы. Вернемся к ней — перейдем от отвлеченных рассуждений к простым чертежам, один взгляд на которые часто говорит нам больше, чем самые строгие доказательства. Древние индийские математики в своих геометрических работах часто вместо доказательств давали наглядные чертежи, снабдив их единственным словом, «смотри».