Экскурсия в оптику. Хитрый луч света

Напомним формулировку задачи о брахистохроне. Из всех кривых, соединяющих лежащие на различной высоте точки А и В, нужно выбрать такую, двигаясь по которой под влиянием только силы тяжести, точка придет из более высокой в более низкую точку в кратчайшее время.

Рис. 101. Задача Ферма.

Эта задача трудна. Рассмотрим предварительно следующую, более легкую задачу: с корабля А (рис. 101) требуется послать в город В гонца. Лодка движется со скоростью v км/ч, пеший гонец делает w км/ч. Расстояния а, b, m даны (рис. 101). На берегу КН нужно найти такое место М, чтобы гонец, высадившись там, совершил весь путь АМВ в кратчайшее время.

Близость этой задачи к задаче о брахистохроне — очевидна. Но задача о брахистохроне гораздо сложнее: там нужно было найти не точку, а целую неизвестную кривую. В новей задаче (будем называть ее задачей Ферма) отыскивается только одна точка. Более того: в задаче Ферма мы имеем дело только с двумя значениями скорости (); в задаче о брахистохроне скорость точки меняется под влиянием силы тяжести непрерывно и принимает бесчисленное множество различных значений.

Рис. 102. Как принести воду с наименьшей потерей времени?

Но и к решению задачи Ферма мы приступим не сразу. Прежде рассмотрим один вопрос, которым почти 2000 лет назад занимался александрийский ученый Герон (I век н. э.).

Представьте себе, что вы путешествуете с группой товарищей. Часть вашей группы остановилась лагерем в пункте А (рис. 102), другая часть — в пункте В. Предположим, что вы находитесь в В, а ведерко для воды ?— в А. Вы приходите в А, берете ведерко, а затем хотите зайти на берег НК реки, набрать воды и вернуться в свой лагерь В. В каком пункте М берега вам нужно брать воду, чтобы путь из Л в В занял кратчайшее время? Мы допустим, что с водой и без нее вы двигаетесь одинаково быстро, и тогда вопрос физики можно будет заменить чисто геометрическим вопросом: найти кратчайший путь из Л в В (с заходом на прямую НК).

Решается этот вопрос очень просто. Строим точку В., симметричную точке В относительной прямой НК (иными словами, проводим и на продолжении ВС откладываем . Возьмем теперь любую точку Т на прямой НК. Совершенно очевидно, что длины ломаных АТВ и равны, как бы ни была выбрана точка Т. Кратчайшая ломаная типа АТВ будет соответствовать кратчайшей ломаной типа АТВХ. Для ломаных типа АТВХ вопрос ясен: соединим прямолинейным отрезком; «ломаная» (т. е. прямая) будет кратчайшим расстоянием между

Но тогда кратчайшей ломаной типа АТВ (точки А и В — по одну сторону прямой НК) будет ломаная АМВ, а искомой точкой — точка М (точка пересечения прямой НК и отрезка, соединяющего А с «зеркальным отражением» точки В).

Обратите внимание на то обстоятельство, что углы ВМС и СМВХ равны (почему?). Если через точку М провести прямую , то будут равны углы ЕМВ и ЕМА.

Рис. 103. Закон Снеллиуса.

Допустим теперь, что мы имеем дело не с берегом реки и экскурсантами, а с поверхностью зеркала, источником света А и глазом наблюдателя В (все тот же рис. 102). Тогда наше решение задачи выразит известный из физики факт: угол падения светового луча равен углу отражения. Эту же мысль теперь можно сформулировать и так: при отражении световой луч «выбирает» путь наименьшей длины. Этот результат был впервые получен Героном Александрийским, а потому последнюю формулировку закона отражения принято называть теоремой Герона.

Через полторы тысячи лет после Герона были изобретены микроскоп и телескоп. Стремление усовершенствовать эти приборы привело к усиленным занятиям геометрической оптикой, причем, естественно, в центре внимания стал вопрос не об отражении, а о преломлении света (в линзах). Было ясно, что в этом случае не может быть и речи о кратчайшем пути луча АОВ (рис. 103). Но как должны быть связаны углы изображенные на рисунке 103, — об этом приходилось только догадываться. Голландскому ученому Снеллиусу (1581—1626) удалось опытным путем открыть закон, известный в наше время любому школьнику: если луч попадает из среды А в среду В, то отношение синусов угла падения и угла преломления луча есть величина постоянная (равная отношению показателей преломления среды В и среды А).

Уже ученые позднего Возрождения поняли, что различие коэффициентов преломления вызвано различием скоростей света в разных средах. Если на рис. 103 скорость света в верхней среде обозначим через v, в нижней через w, то закон Снеллиуса можно будет сформулировать так: синусы углов падающего и отраженного лучей прямо пропорциональны соответствующим скоростям света, и записать так:

Путь луча из А в В через точку О не является наименьшим по длине. Но, может быть, он будет кратчайшим по времени? Французский математик Пьер Ферми (1601—1665) первый обратил внимание на то, что в теореме Герона об отражении света можно говорить не о кратчайшем пути, а о наименьшем времени (ведь скорость-то падающего и отраженного лучей одинакова!). А что, подумал Ферми, если и при преломлении световой луч «выбирает» путь, соответствующий кратчайшему времени? Это позволило бы охватить отражение и преломление света единым общим законом, положить в основу формулировки новую, быть может, плодотворную идею!

И Ферма ставит задачу: пусть на рис. 103 скорость света над прямой МР равна v, под МР — равна w. Как должен двигаться световой луч, чтобы прийти из Л в В в кратчайшее время?

Взглянем теперь на рис. 101 и сравним задачу Ферми о луче света с задачей о гонце с корабля. Сразу видно, что для математика — это одна и та же задача. Поэтому-то задачу о корабле мы и назвали задачей Ферма, хотя этот ученый кораблями никогда не занимался. Мы можем теперь забыть и о кораблях, и о лучах света, и говорить об отвлеченной задаче механики: частица движется из Л в В, пересекая прямую МР (рис. 103). Ее скорость над прямой МР равна v, под прямой МР равна . В какой точке О путь частицы, состоящий из двух прямолинейных отрезков, должен пересечь прямую МР, для того чтобы время движения было наименьшим?

В чем здесь трудность? Возьмем задачу: даны основание равнобочной трапеции, ее периметр и угол при основании; найти площадь. Это — обычная задача, не слишком простая, но и не очень трудная, и любой девятиклассник ее решит.

Но видоизменим задачу и рассмотрим такой случай: даны основание и периметр равнобочной трапеции; как следует выбрать угол при основании, для того чтобы площадь трапеции стала возможно большей? И вот из тысячи школьников вряд ли найдется хотя бы один, который сумеет решить эту новую задачу.

Практическая ценность задач такого рода (т. е. таких, где нужно найти условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение) — очевидна.

Рис. 104. Вывод закона Снеллиуса.

В технике постоянно приходится решать вопрос о самых экономных размера котла, о наивыгоднейшей форме крыла самолета и т. п. Наука древних подобными вопросами почти не занималась. Но перед учеными Возрождения стала насущная задача: разработать простые способы решения такого рода задач — задач на максимум и минимум, как их называют.

Решить задачу о преломлении светового луча, не зная закона Снеллиуса, очень трудно. Но допустим, что найденный из опыта закон Снеллиуса подсказал нам решение. Тогда нетрудно доказать, что наша догадка справедлива.

Этим мы теперь и займемся.

Пусть частица (или луч) движется прямолинейно из точки А (рис. 104) к прямой НК, а затем от НК в точку В, причем от А до прямой НК движется со скоростью v, а от прямой НК до точки В — со скоростью w. В какой точке С путь частицы (или луча света) должен пересечь прямую НК, чтобы достичь точки В в кратчайшее время?

Докажем, что наикратчайшим по времени будет такой путь, при котором отношение синусов углов PC А и ВСМ будет равно отношению скоростей о и до.

Пусть АСВ именно такой путь, т. е. пусть по условию (рис. 104)

Возьмем на НК произвольную точку F. Докажем, что путь AFB займет больше времени, чем путь АСВ.

Сделаем подготовительное построение, которое облегчит нам дальнейшие рассуждения. Опустим перпендикуляры из точки F на падающий луч и на направление луча преломленного (эта оптическая формулировка годится и для решения задачи о движущейся частице). Иными словами, проведем . Угол DPC равен углу PCА (углу а), как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. По той же причине угол CFE равен углу ВСМ (углу ). Поэтому

Поделив эти соотношения одно на другое, поменяв их местами и вспомнив, что (по закону Снеллиуса) получим:

Это и есть предварительный результат, который нам нужно было получить. Переходим теперь к сравнению времен, затрачиваемых на движение по путям АСВ и

Для путей АСВ и AFB имеем соответственно:

(на каждом прямолинейном участке для определения времени равномерного движения делим путь на скорость).

Нужно доказать, что

Преобразуем теперь выражение для t. Заменив АС равной ему суммой , получим:

Заменив равным ему отношением , получим;

потому что

Остается последний шаг. Сравним отрезки AD и AF. Первый — перпендикуляр, второй — наклонная к DF. Следовательно, . Точно так же ЕВ . Но если то Точно так же . Мы получаем окончательно:

Итак, мы доказали, что время прохождения пути АСВ меньше времени прохождения любого другого пути. Теорема о падающем и преломленном лучах доказана. А мы, тем самым, подготовлены к решению задачи о брахистохроне.