Геометрическое определение циклоиды

Теперь мы дадим определение циклоиды как геометрического места точек, не пользуясь механикой. Проще всего поступить так. Рассмотрим произвольную прямую АВ (будем условно считать ее направление горизонтальным) и на ней точку Далее рассмотрим всевозможные круги определенного радиуса, касающиеся этой прямой и расположенные по одну сторону от нее. На каждом круге от точки Т касания его с прямой АВ отложим (в направлении к точке ) дугу ТМ, по длине равную отрезку Геометрическое место точек М (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой.

Неправда ли, какое тяжеловесное определение! Насколько нагляднее определение с помощью движения! А в сущности, ведь ничего не изменено. Просто слова из механики заменены словами из геометрии. Выиграли мы при этом очень много: мы говорили уже, что геометрические факты следует излагать, не опираясь на механику, чтобы избежать в дальнейшем «логического крута». Но многое мы и потеряли. Если бы мы захотели, пользуясь только этим определением, вывести свойства касательной и нормали к циклоиде, мы столкнулись бы с большими трудностями.

Недаром Торичелли и Роберваль не смогли их преодолеть и обратились к механике. Декарту в его чисто геометрическом изучении циклоиды помог им же открытый необычайно мощный метод геометрических исследований — метод координат.

Установим еще одно важное свойство циклоиды и попробуем именно его положить в основу изучения этой кривой.

Рассмотрим треугольник (рис. 21), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательной к циклоиде и нормалью к ней.

Рис. 21. Связь между «высотой» и наклоном касательной.

Угол как вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен у. Проведем и . Отрезок МЕ будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки М циклоиды — это расстояние ее от направляющей прямой.

Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу (почему?). Из треугольника получаем:

а из треугольника ТКМ:

Сопоставляя эти результаты и замечая, что получим окончательно:

Мы выразили высоту точки М через угол между касательной в точке М и вертикалью (горизонталью мы по-прежнему считаем направление прямой АВ). Теперь выразим синус этого угла через «высоту». Получим, очевидно:

где через k обозначена постоянная для данной циклоиды величина Полученный результат изложим словами.

Теорема 4. Синус угла между касательной к циклоиде в точке М и вертикалью пропорционален корню квадратному из «высоты» точки М.

Этим свойством обладает, очевидно, любая циклоида. Возникает вопрос: в какой мере это свойство характеризует именно циклоиду: будет ли всякая кривая, обладающая этим свойством, непременно циклоидой?

Можно доказать, что это будет именно так, — что верна и следующая (обратная) теорема:

Теорема 5. Если даны прямая АВ и точка М, то единственной кривой, удовлетворяющей условиям теоремы 4 и проходящей через точку М, будет циклоида.

При этом радиус производящего круга этой циклоиды связан с коэффициентом k, о котором говорится в теореме 4, следующим соотношением:

(Разумеется, расстояние точки М от АВ должно быть меньше, чем )

Строгое доказательство этой теоремы средствами элементарной математики очень громоздко, и мы его приводить здесь не будем.

Теорема 5 — очень важная теорема. В физике и технике часто приходится разыскивать кривую, удовлетворяющую тем или иным данным условиям. Мы познакомимся в конце этой книжки с задачей, в которой требуется найти кривую линию, удовлетворяющую условиям теоремы 5. И в том, и во всех подобных случаях мы можем быть уверены, что искомая кривая — циклоида.

Если в условии теоремы 5 не оговорить, что искомая кривая проходит через наперед указанную точку М, то получится не одна, а бесконечное множество циклоид, которые получаются друг из друга параллельным сдвигом по направлению прямой АВ (одна из них проходит через точку М, другая — через третья — через и т. д.).

Рис. 22. Семейство циклоид.

Это множество, или, как его называют, семейство циклоид изображено на рис. 22.

Отметим еще одно, совершенно очевидное свойство циклоиды: ее арка симметрична относительно перпендикуляра, восставленного в середине основания арки. А затем перейдем ненадолго к другой замечательной кривой, которую изучал Роберваль; он назвал эту кривую спутницей циклоиды.