Гипоциклоиды

Если больший круг будет неподвижен, а меньший будет катиться, касаясь его изнутри (рис. 58), то любая точка окружности этою меньшего круга опишет кривую, называемую гипоциклоидой («подциклоидон»). Если радиус подвижного круга будет в два. три, вообще в раз меньше радиуса неподвижного, то получится гипоциклоида с двумя, тремя, вообще с заострениями. Попробуйте, читатель, построить самостоятельно гипоциклоиду с двумя заострениями: вы получите любопытный результат. Попытайтесь его сформулировать и доказать.

На рис. 59, а, б, в изображены гипоциклоиды с тремя, четырьмя и шестью заострениями. Если качение внутреннего круга по внешнему будет сопровождаться скольжением, то будут получаться удлиненные и укороченные гипоциклоиды, изображенные на рисунках 60 и 61.

Нормаль к любой гипоциклоиде в любой ее точке проходит через точку соприкосновения псдыгкниго и неподвижного кругов; касательная к гипоциклоиде в любой ее точке проходит через диаметрально противоположную точку подвижного круга.

Рис. 58 Гипоциклоида.

Если радиус подвижного круга обозначим через а, радиус неподвижного — через , то для длины одной арки гипоциклоиды, для длины всей гипоциклоиды, для площади между одной аркой гипоциклоиды и неподвижной окружностью, наконец, для всей площади S, ограниченной гипоциклоидой с заострениями, пслучнм следующие формулы:

формулы напоминают соответствующие формулы для эпициклоид (стр. 47—49).

Из всех гипоциклоид рассмотрим внимательнее одну, именно, гипоциклоиду с четырьмя заострениями (рис. 59, б). Ее называют иначе астроидой, что значит «звездообразная». Астроиду определяют обычно не величиной подвижного радиуса а, а величиной не подвижного, которую принято обозначать буквою . Полагая в точько что дрнпых формулах и заменяя а равной ему величиной получим для астроиды:

Итак, длина всей астроиды равна шести радиусам неподвижного круга, а площадь, ею ограниченная, трем восьмым площади неподвижного круга.

Рис. 59. Различные гипоциклоиды.

Рис. 60. Удлиненные гипоциклоиды.

Рис. 61. Укороченные гипоциклоиды.

Рассмотрим внимательнее касательную А В к астроиде в ее точке М (рис. 62). Как и у всех гипоциклоид, она проходит через точку Т, диаметрально противоположную точке К касания подвижного и неподвижного кругов. Если угол мы обозначим буквою , то угол будет равен (почему?). Углы при основании равнобедренного треугольника будут в сумме давать несмежный с ними внешний угол , а каждый из них будет равен .

Рис. 62 Касательная к астроиде.

Сумма углов при основании ОВ треугольника ОТВ будет равняться (все по той же теореме о внешнем угле треугольника); но угол ТОВ равен (так мы сами обозначили), следовательно, и угол ТВО будет тоже равен треугольник ОТВ — равнобедренный, и . Точно таким же образом убедимся, что

Но ОТ — разность радиуса неподвижного и диаметра подвижного кругов — равна половине радиуса неподвижного круга, т. е. . Следовательно, отрезок касательной к астроиде, заключенный между двумя взаимно перпендикулярными радиусами неподвижного круга, проведенными в острия астроиды, равен радиусу неподвижного круга, независимо от того, как была выбрана точка М.

Это обстоятельство позволяет строить астроиду следующим путем.

Чертим две взаимно перпендикулярные прямые и проводим ряд отрезков длиною R, концы которых лежат на этих прямых. На рисунке 63 изображено 12 таких отрезков (включая отрезки на самих взаимно перпендикулярных прямых). Чем больше мы проведем отрезков, тем точнее получим кривую. Построим теперь от руки огибающую всех этих отрезков (с огибающими мы уже имели дело на рис. 20). Этой огибающей будет астроида.

Рис. 63. Астроида — огибающая своих касат

Рис. 64. Тело вращения, порожденное астроидой.

На рис. 64 изображено тело, ограниченное поверхностью, порожденной вращением астроиды вокруг отрезка, соединяющего ее противоположные острия.

Объем этого тела равен а поверхность, его ограничивающая, равна

Вернемся теперь к вопросу, который мы предлагали самостоятельно разрешить читателям на странице 56 — в начале беседы о гипоциклоидах. Именно, рассмотрим случай т. е. гипоциклоиду с двумя заострениями. Допустим, что центр подвижного круга занял произвольное положение (рис. 65). Чтобы построить соответствующую точку гипоциклоиды, нужно построить угол вдвое больший угла Но подвижный круг все время будет проходить через центр неподвижного. Угол — вписанный в окружность подвижного круга, а угол равный , вдвое больший вписанного, т. е. центральный для той же окружности.

Поэтому точка М должна лежать на отрезке Так будет для любого положения центра и мы получаем замечательный результат: точка окружности, катяаиейся без скольжения по внутренней стороне окружности вдвое большего радиуса, движется по диаметру неподвижной окружности. Эта теорема была известна уже Копернику.

Рис. 65. Теорема Коперника

В этом случае гипоциклоида, как говорят, «вырождается» в прямолинейный отрезок, дважды повторенный (точка М пройдет по диаметру из конца в конец в обе стороны). Если в формулах на стр. 57 мы положим то для площади S получим значение 0, а для длины всей кривой» — , т. е. дважды повторенную длину диаметра производящего круга. Этого мы и должны были ожидать.

Рис. 66. Неограниченное возрастание радиуса неподвижной окружности.

Предположим теперь, что радиус а подвижного круга раз навсегда установлен, а радиус неподвижного на неограниченно возрастает. Иными словами, положим, что принимает возрастающий ряд значений: и так далее — до бесконечности. Неподвижный круг будет при этом все более и более «выпрямляться» и стремиться к предельному положению — прямой АВ на рис. 66. При этом гипоциклоида будет «разгибаться» и в пределе превратится в обыкновенную циклоиду.

Посмотрим, что сделается при этом с формулами для длины дуги одной арки гипоциклоиды и соответствующей площади. Для длины одной арки гипоциклоиды мы имели:

Когда неограниченно растет, множитель в скобках в правой части этого равенства стремится к единице, потому что вычитаемое — стремится к нулю. Следовательно, сама длина арки стремится при этом к , т. е. к длине арки обыкновенной циклоиды.

Для площади мы имели формулу:

При неограниченном возрастании правая часть будет стремиться к т. е. к площади, ограниченной аркой обыкновенной циклоиды и ее основанием, Предлагаем читателям провести подобные рассуждения для эпициклоид.