Спутница циклоиды и ее разоблачение

Рассмотрим циклоиду (рис. 23). Из ее точки М опустим перпендикуляр на вертикальный диаметр производящего круга. Получим точку Р. Проделаем такое построение для всех без исключения точек циклоиды (так, точке будет соответствовать точка вершине циклоиды — сама вершина , остриям — острия и т. д. Все это видно на рис. 23).

Когда точка М опишет полную арку циклоиды, точка Р тоже опишет некоторую кривую. Вот эта-то кривая и называется спутницей циклоиды. Свойства «спутницы» были изучены Робервалем. Он их использовал для вычисления плошади, ограниченной аркой циклоиды и ее основанием. Но мы не будем систематически изучать спутницу.

Рис. 23. Спутница циклоиды.

Мы сделаем проще: постараемся признать в ней нашу старую знакомую.

Рассмотрим циклоиду, точку М на ней и соответствующую точку Р на спутнице (рис. 24).

Рис. 24. Спутница циклоиды — синусоида.

Центр производящего круга обозначим буквою Q. Тогда будем иметь:

Начертим геометрическое место центров производящего круга (прямая на рис. 24). От точки отложим по АВ отрезок , равный .

Проведем Точку пересечения обозначим буквою О. Теперь все вспомогательные построения закончены, и мы можем без труда «выяснить личность таинственной спутницы», как принято писать в приключенческих романах.

Отрезок на направляющей прямой от острия циклоиды до точки прикосновения производящего круга равен где — основной угол , выраженный в радианах. Отрезок OQ на горизонтальной оси (читатель узнал в прямых ОХ и OY оси координат, которыми принято пользоваться при вычерчивании графиков) равен отрезок QP равен , т. е. равен синусу угла , умноженному на радиус а.

Итак, от точки О по горизонтали откладываются отрезки, равные по длине дугам окружности, а по вертикали линии синусов соответствующих этим дугам углов.

Рис. 25. Построение синусоиды.

Мы узнаём известное из курса геометрии построение обыкновенной синусоиды (рис. 25).

Итак, незнакомка разоблачена! Она оказалась обычной синусоидой. Но «начало» этой синусоиды (О) не совпадает с острием циклоиды: оно сдвинуто на единиц вправо и на а единиц вверх.

Посмотрим внимательно на рис. 24 и мы сразу увидим любопытное соотношение между соответствующими друг другу точками М и Р циклоиды и ее спутницы синусоиды: отрезок МР между соответствующими точками циклоиды и ее спутницы равен полухорде производящего круга.

(Хорла проводится параллельно АВ на расстоянии, равном расстоянию от АВ до точки М.)

Взглянем теперь на рис. 26. На нем изображено несколько фигур, ограниченных дугами синусоиды и прямыми линиями: горизонтальными и вертикальными.

Рис. 26. Свойства синусоиды.

Из соображений симметрии следует, что участки I, II, III, IV (отмеченные разной штриховкой) равны. Так, поворот на 180° вокруг точки О в плоскости чертежа совместит участки II и I; зеркальное отражение относительно прямой между II и III совместит II с III, а IV с I. Точно так же из рис. 27 видно, что синусоида делит прямоугольник АВСЕ на две равновеликие части.

Рис. 27. Плошадь между синусоидой и направляющей.

Действительно, повернув фигуру АОТЕ на 180° вокруг точки О, мы совместим ее с фигурой АОТК, повернув фигуру КВРТ на 180° Еокруг точки Р, мы совместим ее с фигурой СТРВ. Следовательно, площадь, ограниченная спутннней одной арки циклоиды и основанием этой арки, равна половине площади прямоугольника АЕСВ, основание которого АВ равно окружности производящего круга, т. е. , а высота КТ — диаметру того же круга (2а).

Итак, площадь фигуры АОТРВК (рис. 27) равна Обозначив эту площадь буквою S, получим формулу:

Словами это можно выразить так: площадь, ограниченная спутницей одной арки циклоиды и ее основанием, равна удвоенной площади производящего круга.