§ 3. Иррациональность числа V2
Мы дадим здесь традиционное косвенное доказательство иррациональности числа 
. В следующей главе будет приведено еще одно доказательство этого факта, использующее значительно более общий подход.
В гл. I было показано, что множество четных чисел, равно как и множество нечетных чисел, замкнуто относительно умножения. В частности, квадрат четного числа четен, а квадрат нечетного числа нечетен.
Допустим теперь, что число 
рационально, скажем
где а и b — целые числа.
Мы предположим, и в доказательстве это будет использовано, что рациональная дробь а/b несократима. Точнее, мы воспользуемся тем, что числа а и b не являются оба четными — в противном случае дробь а/b была бы сократимой. Возводя в квадрат выписанное выше равенство и производя упрощения, получаем
Число 
четно. Поэтому 
и, следовательно, а четно, скажем, 
, где с — целое. Заменяя а на 
в равенстве 
получаем
Число 
четно. Поэтому четно 
а вместе с ним и b. Мы пришли к заключению, что как а, так и b четно, в то время как дробь 
была предположена несократимой. Полученное противоречие имеет своим следствием невозможность представить 
в виде рациональной дроби 
Таким образом, число 
иррационально.
