§ 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов

В этой книге будут рассматриваться только десятичные логарифмы, и поэтому не будет необходимости каждый раз указывать, по какому основанию берется логарифм. Напомним, что логарифмом по основанию 10 положительного действительного числа у называется число k, для которого

Таким образом, для любого соотношения

и

эквивалентны. Все приводимые ниже доказательства основываются На основной теореме арифметики, доказанной в приложении Б. Эта теорема утверждает, что всякое целое число единственным образом разлагается в произведение простых множителей.

Пример 1. Доказать, что число иррационально.

Решение. Предположим, что, напротив, , где а и b — положительные целые числа. Числа а и b можно считать положительными, поскольку число положительно. Имеем

Возводя обе стороны этого равенства в степень 6, получаем

Последнее равенство связывает два целых положительных числа; поэтому здесь можно применить основную теорему арифметики. Согласно этой теореме, равенство невозможно, так как есть целое число, ни при каком b не делящееся на 5, в то время как делится на 5, поскольку b есть целое положительное число. Следовательно, число иррационально.

Пример 2. Доказать, что число иррационально.

Решение. Предположим, что, напротив, имеются такие положительные целые числа а и b, для которых

Возводя опять обе стороны в степень b, получим

Но последнее равенство не может быть верным, поскольку имеет простые множители 3 и 7, в то время как простыми множителями числа являются 2 и 5.

Пример 3. Пусть с и d — два различных неотрицательных целых числа. Доказать, что число иррационально.

Решение. Воспользуемся опять косвенным рассуждением. В силу условий, наложенных на с и больше 1, поэтому больше 0. Предположим, что

где а и b — положительные целые числа. Тогда

Возводя обе стороны этого равенства в степень b, получим

Согласно основной теореме арифметики, это равенство возможно лишь тогда, когда т. е. когда Но поскольку числа различны, то различны и числа Следовательно, число иррационально.

Упражнения

1. Доказать, что число иррационально.

2. Доказать, что число иррационально.

3. Доказать, что число иррационально.

4. Доказать, что целые числа могут быть разбиты на следующие три различных непересекающихся класса:

класс А — целые числа 1, 10, 100, 1000, класс В — целые числа вида , где с и d различны, класс С — целые числа, делящиеся на по крайней мере одно нечетное простое числом, отличное от 5, и что число рационально тогда и только тогда, когда число относится к классу А.