ПРИЛОЖЕНИЕ В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел

В гл. VII было указано одно трансцендентное число и, таким образом, доказано существование таких чисел. В этом приложении будет дано независимое доказательство существования трансцендентных чисел посредством совершенно иного метода, а также будет показано, что трансцендентных чисел имеется бесконечно много. В действительности мы установим даже, что в известном смысле трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.

Вначале отметим, что мы рассматриваем только действительные алгебраические числа и действительные трансцендентные числа. Корнями уравнения , например, являются алгебраические, но не действительные алгебраические числа. Устанавливаемые нами результаты и их доказательства верны также и в комплексном случае, однако, ограничиваясь лишь действительными числами, мы достигаем некоторого упрощения.

Под множеством S понимают любую совокупность определенных различимых объектов. Эти объекты называют членами множества S, или элементами S. Множество S может быть конечным, как, например, множество простых чисел, меньших, чем 20:

и может быть бесконечным, как, например, множество всех натуральных чисел:

Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно представить в виде последовательности

так, что каждый элемент множества является членом этой последовательности. Например, множество четных натуральных чисел можно записать в виде последовательности

член которой равен , и поэтому это множество счетно.

Множество всех целых чисел счетно, поскольку его можно представить в виде последовательности

Конечно, это множество может быть представлено в виде последовательности также другими способами, и любой из способов достаточен для доказательства счетности рассматриваемого множества.

Чтобы убедиться в счетности некоторого множества, вовсе не необходимо знать какую-либо определенную формулу для члена последовательности. Например, множество простых чисел

счетно, хотя мы и не знаем точного значения стомиллионного простого числа. Достаточно лишь знать, что такое простое число существует, и тем самым иметь возможность понять, что все множество имеет вид последовательности.

Установим далее, что множество всех рациональных чисел счетно. Заметим, что любое рациональное число является корнем уравнения первой степени с целыми коэффициентами а и b. Мы будем, кроме того, считать число а положительным, не ограничивая, конечно, этим общности наших рассуждений. Например, рациональное число 3/5 есть корень уравнения Условимся говорить, что уравнение имеет высоту

Высота каждого такого уравнения является, очевидно, положительным целым числом. Например, уравнение имеет высоту 9. Заметим, что нет ни одного уравнения высоты 1 и имеется лишь одно уравнение высоты 2, а именно уравнение .

ТАБЛИЦА 1

В табл. 1 приведены все уравнения первой степени, высота которых не превосходит 5. Отвечающие уравнениям табл. 1 рациональные числа собраны в табл. 2, где они расположены в порядке возрастания.

ТАБЛИЦА 2

Ясно, что любой высоте отвечает лишь конечное число уравнений первой степени. В действительности имеется ровно уравнений высоты однако точное их число, по существу, не имеет значения. Таким образом, с каждым увеличением высоты добавляется лишь конечное число новых рациональных чисел.

Поэтому все рациональные числа можно расположить в виде последовательности

перечисляя сначала все корни уравнений высоты 2, затем все корни уравнений высоты 3, не перечисленные ранее, и т. д., повышая каждый раз высоту на единицу. Так как каждое рациональное число войдет в эту последовательность, то множество рациональных чисел счетно.

По существу то же доказательство применимо для установления счетности множества всех алгебраических чисел. Но сначала мы должны узнать кое-что о том, сколько корней может иметь алгебраическое уравнение. Напомним, что число называется алгебраическим, если оно удовлетворяет некоторому уравнению вида.

где коэффициенты — целые. Можно предполагать, что положительно, поскольку противный случай сводится к этому умножением уравнения на —1; корни уравнения от этого умножения не меняются.

Теорема 1. Всякое уравнение вида (1) имеет самое большее различных корней.

Доказательство. Предположим, что, напротив, уравнение (1) имеет различных корней. Пусть это будет Воспользуемся теперь теоремой 2 гл. VII, или, точнее, небольшим ее видоизменением. Из доказательства этой теоремы вытекает, что если есть корень уравнения то является делителем независимо от того, рационально или нет. В случае, когда иррационально, частное имеет иррациональные коэффициенты, но это здесь, однако, несущественно. Таким образом, поскольку — корень уравнения , то является делителем

Обозначим через соответствующее частное. Тогда

Число будучи корнем уравнения должно, следовательно, быть также корнем уравнения Но в таком случае есть делитель с частным, скажем :

Продолжая этот процесс для корней получаем, что можно записать в виде

Так как есть многочлен степени , то многочлен должен сводиться к постоянной. (Более того, многочлен ) должен быть равен поскольку разложение (2) должно соответствовать виду (1) многочлена

Рассмотрим теперь корень который не совпадает ни с одним из остальных корней. Так как то, согласно (2), должно быть

что невозможно, поскольку произведение ненулевых множителей не может равняться нулю. Тем самым теорема 1 доказана.

Теорема 2. Множество алгебраических чисел счетно.

Доказательство. Определим высоту уравнения (1) как

Поскольку положительно, то высота является положительным целым числом. Ясно, что данное определение представляет собой непосредственное обобщение определения высоты уравнения первой степени. Как и раньше, все уравнения для малых значений высоты можно выписать в виде таблицы. Это сделано в табл. 3,

ТАБЛИЦА 3

Подобно тому, как это делалось в случае уравнений первой степени, перечислим теперь все новые алгебраические числа, возникающие уравнений табл. 3. Если для каждой высоты их расположить в порядке возрастания, то получится последовательность

Число 0 возникает из рассмотрения единственного уравнения высоты 2, числа —1 и +1 — из рассмотрения уравнений высоты 3, числа —2, —1/2, 1/2, 2 — из рассмотрения уравнений высоты 4 и т. д. Число уравнений любой фиксированной высоты h конечно, поскольку степень и коэффициенты могут принимать значения лишь из конечного множества целых чисел. Кроме того, согласно теореме 1, каждое уравнение степени имеет самое большее корней. Следовательно, в последовательность (3) войдут все действительные алгебраические числа. Нужно отметить, что хотя при увеличении высоты мы можем на каждом этале выписать все уравнения заданной высоты, нельзя продолжить перечисление корйей уравнений в явной форме, как это было сделано для нескольких первых корней в (3).

Из теоремы 2 мы желаем вывести дальнейшее заключение, а именно, что множество действительных алгебраических чисел, лежащих между 0 и 1, счетно. Заключение это получается с помощью простого общего принципа, который будет сформулирован в виде теоремы о так называемых подмножествах. Множество М называется подмножеством множества S, если каждый элемент М есть также элемент

Теорема 3. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Доказательство. Пусть — счетное множество и М — его бесконечное подмножество. Пусть первый элемент S, принадлежащий М, есть второй и т. д. Тогда

и, следовательно, множество М счетно.

Каждое из рассмотренных нами до сих пор бесконечных множеств было счетным. В следующей теореме речь будет идти о бесконечном множестве, которое несчетно.

Теорема 4. Множество действительных чисел несчетно.

Доказательство. В силу теоремы 3 достаточно доказать несчетность множества действительных чисел, лежащих между 0 и 1. Под таким множеством мы будем понимать множество действительных чисел для которых так что 1 включается в наше множество, а 0 отбрасывается. Предположим, что, напротив, множество действительных чисел, лежащих между 0 и 1, счетно. Пусть оно образует последовательность

Запишем все числа в виде десятичных дробей, используя при этом лишь бесконечные дроби, так что вместо конечных десятичных дробей берутся равные им бесконечные периодические дроби (см. § 5 гл. II),

Например, число 1/2 записывается не в виде 0,5, а в виде 0,499999.... В результате будем иметь

Построим теперь число

следующим образом. В качестве берем любую цифру от 1 до 9, отличную от в качестве — любую цифру от 1 до 9, отличную от и т. д. Вообще есть любая не равная нулю цифра, отличная от . Так построенное число не равно (поскольку имеют разные цифры на первом месте после запятой), не равно (поскольку имеют разные цифры на втором месте после запятой) и вообще не равно (поскольку имеют разные цифры на месте после запятой). Таким образом, не равно ни одном из чисел . Но, с другой стороны, есть действительное число, лежащее между 0 и 1. Полученное противоречие доказывает теорему.

Так как множество алгебраических чисел, лежащих между 0 и 1, счетно и так как, согласно только что доказанной теореме, множество действительных чисел, лежащих между 0 и 1, несчетно, то существуют действительные числа, не являющиеся алгебраическими. Поскольку эти числа трансцендентны, то тем самым доказано существование трансцендентных чисел.

Теорема 5. Множество действительных трансцендентных чисел несчетно.

Доказательство, Предположим, что множество действительных трансцендентных чисел счетно и что оно образует последовательность

Согласно теореме 2, множество действительных алгебраических чисел счетно.

Обозначим его через Тогда множество всех действительных чисел можно записать в виде последовательности.

что, однако, противоречит теореме 4. Таким образом, теорема 5 доказана.

Отметим, наконец, что из теорем 2 и 5 можно сделать такой вывод: трансцендентных чисел имеется «больше», чем алгебраических. В то время как множество алгебраических чисел можно представить в виде бесконечной последовательности, трансцендентных чисел имеется слишком много, чтобы такое их представление было возможным.

Упражнения

1. а) Найти все уравнения первой степени высоты 6; б) найти все корни этих уравнений, не являющиеся корнями уравнений первой степени меньшей высоты.

2. Доказать, что множество всех нечетных чисел (положительных и отрицательных) счетно.

3. Доказать, что множество всех многочленов , где а и b пробегают множество всех натуральных чисел, счетно.

4. Найти все уравнения высоты 5 и затем проверить, что последовательность (3) вплоть до элемента 3 выписана правильно.

5. Доказать, что множество чисел вида а , где а и b пробегают все рациональные числа, счетно.

6. Доказать, что если множество А можно разбить на два счетных множества В и С, то А счетно.

7. Доказать, что множество всех действительных чисел, лежащих строго между 0 и 0,1, несчетно.

8. Доказать, что множество всех иррациональных чисел несчетно.