§ 5. Свойства замкнутости

Следующие два предположения будут использованы в одной из последующих глав.

1) Множество четных чисел замкнуто относительно умножения.

2) Множество нечетных чисел замкнуто относительно умножения.

Для доказательства утверждения 1) нужно установить, что произведение любых двух четных чисел четно. Любые два четных числа можно записать как . Перемножая эти числа, получаем

Произведение делится на 2 и таким образом четно Для доказательства утверждения 2) нужно установить, что произведение любых двух нечетных чисел нечетно. Представляя два нечетных числа как и перемножая их, получаем

Число четно, какие бы целые числа ни подставить в его выражение вместо тип. Следовательно, число нечетно.

Утверждения 1) и 2) можно было бы доказать, применяя теорему о единственности разложения на простые множители. Мы, однако, не будем входить в. детали по поводу этого метода. (Читатель, возможно, пожелает самостоятельно провести доказательство таким методом.

При этом следует помнить, что целое число четно тогда и только тогда, когда в его разложение на простые множители входит число 2.)

Мы рассмотрели четные и нечетные числа, т. е. целые числа вида соответственно . Четность и нечетность целых чисел связаны с делимостью их на 2. Подобным образом можно рассмотреть класс целых чисел, делящихся на 3, а именно:

Эти числа кратны трем. Их можно также описать, как класс чисел вида . Целыми числами вида являются числа

а целыми числами вида — числа

Три выписанные совокупности целых чисел исчерпывают все целые числа. Можно сказать, таким образом, что любое целое число имеет в точности один из видов .