§ 4. Свойства многочленов

Теорема 3. Число не есть корень уравнения (7), т. е.

Доказательство. Предположим, что является корнем уравнения (7). Тогда по теореме есть делитель

причем степень многочлена на единицу меньше степени многочлена и коэффициенты его рациональны. Далее, так как а есть корень уравнения то

Но произведение двух чисел равно нулю только тогда, когда одно из них равно нулю. Число не равно нулю, поскольку а не, совпадает с . Следовательно, т. е. а есть корень уравнения причем степень равна . Обозначим через k произведение знаменателей всех рациональных коэффициентов Ясно, что многочлен имеет целые коэффициенты и число а есть его корень, т. е. . Но это противоречит нашему предположению о том, что а не удовлетворяет никакому уравнению с целыми коэффициентами степени меньше .

Таким образом, исходя из равенства мы пришли к противоречию; теорема доказана.

Покажем теперь, следуя плану, намеченному в предыдущем параграфе, что величина имеет одинаковый порядок с и, следовательно, очень мала (см. § 2).

Теорема 4. Существует зависящее только от коэффициентов многочлена и от его степени число N, такое, что

Доказательство. Число N определяется равенством

Отметим, в частности, что N не зависит от числа использованного при определении .

В процессе доказательства нам будет полезна формула для разложения на множители разности , а также одно неравенство, которому эта разность удовлетворяет. Разложение дается формулой

Здесь k — произвольное положительное целое число. Чтобы проверить формулу (9), произведем умножение в ее правой части. Имеем

и

При вычитании второго из этих выражений из первого сокращаются все члены в правой части, исключая первый член из первого равенства и последний из второго, так что в результате остается только

Далее заметим, что, согласно неравенствам (6), все члены и т. д. из правой части соотношения (9) меньше 1. Следовательно, поскольку этих членов всего k и поскольку положительно, имеем

Подставляя теперь вместо и вычитая из получаем

Используя далее тождество (9), вынесем из всех членов справа общий множитель . В результате будем иметь

Отсюда, беря абсолютные значения и применяя теорему 1 и неравенство (10), находим

Замечая Теперь, что , и используя определяющее N равенство (8), окончательно получаем

что и доказывает теорему.