§ 6. Краткие выводы

В этой главе мы ответили на вопрос «Существуют ли трансцендентные числа?», показав, что конструктивно задаваемое число Лиувилля является трансцендентным, т. не алгебраическим.

Проследим кратко еще раз весь ход доказательства, поскольку детали, возможно, затемнили суть дела. Центральная идея доказательства, как было отмечено в начале глвы, состоит в том, что число

может быть очень хорошо приближено рациональными числами. Этот факт отражен в неравенстве (5), которое, по существу, говорит о том, что очень мало по сравнению с р. Напомним, что в то время как знаменатель рационального числа есть 10/1 [см. (4)], разность имеет порядок теореме 4 из малости порядка величины была выведена малость порядка величины где - многочлен с целыми коэффициентами, обращающийся, согласно предположению, в нуль при

С другой стороны, рассматривая разность в теореме 5 с совсем иной точки зрения, мы показали, что величина этой разности больше той, которая возможна в соответствии с сделанной выше оценкой. [Множитель в теореме 5 не играет существенной роли; он вводится с той целью, чтобы еще больше оттенить различие двух получающихся порядков величины ] Для этого было замечено, что равно просто и что есть рациональное число с знаменателем . Таким образом, предположение о справедливости равенства позволяет доказать, что значительно больше, чем должно быть согласно проведенным выше вычислениям. Полученное противоречие и устанавливает трансцендентность числа а.