§ 3. План доказательства

Для доказательства трансцендентности числа а мы предположим противное, т. е. что а является числом алгебраическим, и затем получим противоречие.

Сделанное допущение означает, что а удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Среди всех алгебраических уравнений, которым удовлетворяет а, выберем уравнение наименьшей степени. Пусть это будет уравнение

Для краткости стоящий в (7) слева многочлен обозначим через На протяжении оставшейся части главы многочлен будет играть центральную роль. Вот основные предположения относительно которые следует помнить:

1) имеет целые коэффициенты;

2) число а есть корень уравнения так что равно нулю [под мы понимаем число, получающееся в результате подстановки а в вместо ];

3) число а не является корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами степени меньше .

Число подучающееся в результате подстановки в вместо тоже будет играть важную роль в дальнейшем рассуждении.

Идея доказательства состоит в следующем: число [или, что то же, поскольку ] рассматривается с двух различных точек зрения. С одной точки зрения есть многочлен относительно с целыми коэффициентами. Так как число рационально, то тоже рационально, и мы увидим, что его абсолютная величина сравнительно велика. С другой точки зрения есть разность двух многочленов, и мы покажем в следующем параграфе, что величина этой разности имеет одинаковый порядок с и поэтому относительно мала [см. соотношение (5)]. Таким образом, предположив, что число а — алгебраическое, мы придем к двум исключающим друг друга утверждениям о порядке величины ) и тем самым получим противоречие.

Мы подготовим путь для этого в следующем параграфе, показав, что не равно нулю и что величина имеет тот же порядок, что и

Упражнения

1. Проверить тождества:

2. Написать тождество, выражающее в виде произведения на многочлен степени 6.

3. Доказать, что всякое алгебраическое число является корнем бесконечного числа алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.