ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Доказательство иррациональности значений тригонометрических фуннций И. М. Яглом

Наша основная цель заключается в доказательстве следующей теоремы:

Теорема 1. Пусть . Тогда, если угол а содержит рациональное число градусов и , то число а иррационально.

Существует удивительно красивое (хоть и вовсе не простое) доказательство этой теоремы. Оно тесно связано с известным вопросом о том, какие правильные многоугольники можно изобразить на листке бумаги в клетку так, чтобы все вершины этих многоугольников совпадали с узлами имеющейся на листке сетки квадратов [см., например, Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы планиметрии, М., «Наука», 1966, задачу 33 а) и родственные ей задачи 33 6), в)]. При этом нам будет удобно еще несколько обобщить постановку вопроса. А именно вместо сетки квадратов мы рассмотрим произвольную прямоугольную решетку, т. е. множество точек, имеющих целочисленные координаты в произвольной системе прямоугольных декартовых координат (рис. 23); при этом мы будем считать, что единицы измерения длин вдоль оси и вдоль оси у могут быть и разными (в этом и состоит обобщение указанной выше задачи).

Мы зададимся вопросом о том, какие правильные многоугольники можно расположить на плоскости так, чтобы все их вершины совпадали с узлами нашей решетки.

Мы утверждаем, что если правильный -угольник таков, что все его вершины совпадают с узлами (прямоугольной) решетки, то

Рис. 23.

В самом деле, пусть правильный -угольник, удовлетворяющий требуемому условию (рис. 24). Из произвольного узла нашей решетки отложим отрезки равные, параллельные и одинаково направленные с отрезками . В таком случае -угольник будет также правильным и также будет удовлетворять нашим условиям.

(см. скан)

Рис. 24.

В самом деле, все (равнобедренные) треугольники будут, очевидно, равны между собой; их боковые стороны будут равны стороне правильного -угольника , а углы при вершинах — внешнему углу правильного -угольника впрочем нам даже не обязательно знать величину углов

Поэтому все отрезки — основания рассматриваемых равнобедренных треугольников — равны между собой; равны между собой и углы равные удвоенному углу основании треугольников Поэтому -угольник — правильный.

С другой стороны, отрезок по условию соединяет два узла решетки; равный ему, параллельный и одинаково с ним направленный отрезок исходит из узла О решетки. Параллельный перенос плоскости, переводящий точку в точку О, переводит отрезок в отрезок всю же решетку он переводит же самую решетку (см. рис. 25). Поэтому точка также является узлом решетки. Аналогично доказывается, что и все вершины правильного -угольника совпадают с узлами решетки.

Правильные -угольники разумеется, подобны между собой (ибо подобны любые два правильных -угольника с одним и тем же числом сторон).

При этом коэффициент подобия k равен (см. рис. 24):

(вот здесь мы существенно используем то, что внешний угол правильного -угольника равен - последнее следует из того, что сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360°),

Но если , то и в интервале функция а возрастает. Поэтому

Итак, при сторона правильного -угольника будет равна

где а — сторона правильного -угольника , а коэффициент подобия k меньше 1.

Примем теперь за исходный правильный -угольник многоугольник и построим, исходя из него, правильный -угольник точно таким же образом, как, исходя из правильного -угольника мы построили многоугольник Очевидно, что все вершины правильного -угольника также будут совпадать с узлами нашей решетки; сторона с этого -угольника будет равна

Далее, исходя из -угольника построим новый правильный -угольник все вершины которого также совпадают с узлами решетки, а сторона d равна

Продолжив этот процесс, мы получим последовательность правильных -угольников все вершины которых совпадают с узлами решетки и длины сторон

неограниченно уменьшаются (напоминаем, что ).

Рис. 25.

Но это невозможно, так как отрезок, соединяющий два узла решетки, не может быть слишком мал — он во всяком случае не меньше меньшей стороны образующих решетку прямоугольников (ср. рис. 23). Отсюда следует, что при построить правильный -угольник, все вершины которого совпадали бы с узлами (прямоугольной) решетки, невозможно.

Аналогично доказывается и невозможность построения правильного пятиугольника все вершины которого совпадают с узлами (прямоугольной) решетки. В самом деле, обозначим точки пересечения диагоналей этого пятиугольника буквами как это указано на

Рис. 26.

Так как четырехугольник — параллелограмм, то отрезки равны, параллельны и одинаково направлены. Но отрезок по условию соединяет узлы решетки, а отрезок исходит из узла решетки; поэтому и конец последнего отрезка также совпадает с одним из узлов решетки. Аналогично этому доказывается, что и точки также совпадают с узлами прямоугольной решетки.

Так как пятиугольник правильный, то и пятиугольник — тоже правильный. Ясно, что правильные пятиугольники подобны; из рассмотрения треугольника , очевидно, следует, что коэффициент подобия?)

Построим теперь, исходя из правильного пятиугольника новый правильный пятиугольник исходя из правильного пятиугольника — правильный пятиугольник и т. д. (см. рис. 27). Очевидно, если а, b, с, d,... — стороны правильных пятиугольников то

т. e. стороны этих правильных пятиугольников (все вершины которых должны совпадать с узлами нашей прямоугольной решетки!) неограниченно уменьшаются. Отсюда, в точности как и раньше, заключаем, что построить правильный пятиугольник, все вершины которого совпадают с узлами (прямоугольной) решетки, нельзя.

Нетрудно построить правильный четырехугольник (квадрат), все вершины которого совпадают с узлами (даже квадратной!) решетки (рис. 28, а,б,в) можно также построить правильный треугольник (рис. 29, а) или правильный шестиугольник (рис. 29,б), все вершины которых совпадают с узлами прямоугольной решетки.

Рис. 27.

Вернемся теперь к интересующей нас теореме. Доказательство теоремы 1.

(см. скан)

Рис. 28.

Предположим, что угол а (где ) содержит рациональное число градусов и число — рационально; выясним, каким именно может быть при этом угол а. Ясно, что число

вообще говоря, будет уже. иррационально. Число

(см. выше, стр. 91 — 92; здесь мы обозначили через ) будет снова рационально; число же

(мы обозначили дробь через ) будет рациональным кратным выражения Точно так же число

рационально и число

является рациональным кратным выражения (здесь мы используем формулы, указанные на стр. 91, и формулу (7) стр. 92).

Мы утверждаем, что каков бы ни был номер k, число рационально, а число является рациональным кратным выражения Для того чтобы убедиться в этом, мы воспользуемся приемом, уже использованным один раз при доказательстве теоремы приложения Б.

А именно: мы покажем, что наше утверждение, справедливое, как мы только что убедились, при , будет верным для всех номеров k, т. е. что оно никак не может потерять силу при переходе от некоторого номера k к следующему за ним номеру

Рис. 29.

В самом деле, предположим уже известным, что число рационально, а число является рациональным кратным выражения . Тогда и число

рационально, а число

представляет собой рациональное кратное] .

Предположим теперь, что угол а содержит рациональное число градусов; это обстоятельство нам будет удобно записать в виде

где — несократимая дробь. Рассмотрим точек единичной окружности с центром в начале О (декартовой прямоугольной) системы координат (с одинаковыми единицами измерения длин вдоль обеих осей!)

где числа в скобках означают координаты точек. Точка характеризуется тем, что радиус-вектор этой точки образует с осью (быть может, больший 360°) угол (рис. 30); так как то точка имеет координаты (1.0). Поскольку дробь несократима, то все наши точки различны: в самом деле, совпадение точек , где означало бы, что разность углов представляет собой целое кратное «полного угла»

где целое число, или

таким образом, мы приходим к равенству , где доказывающему сократимость дроби

Заменим теперь все углы , где , образованные радиусами-векторами точек с осью х, меньшими 360° углами

Рис. 30.

При этом величина угла равна где t — соответствующим образом подобранное целое число; поэтому все углы

представляют собой целые кратные угла Но различных целых кратных угла меньших 360°, существует ровно поэтому, поскольку все углы различны (ибо различны точки ), то совокупность (заключенных в пределах ) углов образованных отрезками с осью совпадает с совокупностью углов т. е. точки являются вершинами правильного -угольника (ср. рис. 31, где ).

Воспользуемся теперь тем, что, как было доказано выше,

где

— некоторые рациональные числа. Пусть Q — общий знаменатель всех дробей

а S — общий знаменатель дробей

в таком случае координаты наших точек можно записать так:

где целые числа.

Рассмотрим теперь на плоскости прямоугольную решетку, образованную прямыми, параллельными осям координат и удаленными от оси абсцисс на всевозможные целые кратные величины - (т. е. на расстояния а от оси ординат — на всевозможные целые кратные величины (т. е. на расстояния )

Рис. 31.

Так как точка имеют координаты

то все они совпадают с узлами, построенной прямоугольной решетки (рис. 32).

Рис. 32.

Но мы знаем, что правильный -угольник можно лишь в том случае поместить на плоскости так, чтобы все его вершины совпадали с узлами прямоугольной решетки, если или 6. А так как в силу условия теоремы 1 угол а заключен в пределах , то единственное возможное значение (положительного, но меньшего угла есть .

Хорошо известно, что в самом деле рационален; для всех же других углов а (где ), содержащих рациональное число градусов, а иррационален. Тем самым теорема доказана.

Из теоремы 1 сразу вытекает, что имеют место

Теорема 2. Пусть Тогда если угол а содержит рациональное число градусов и то число а иррационально, и

Теорема 3. Пусть Тогда если угол а содержит рациональное число градусов и то число а иррационально.

Таким образом, из всех углов, содержащих рациональное число градусов, лишь углы вида , где k — целое число, имеют рациональный косинус; лишь углы вида имеют рациональный синус и лишь углы вида 180° имеют рациональный тангенс.

Первое доказательство теоремы 2. Так как

то число а рационально в том и только в том случае, если рационально число кроме того, если угол а содержит рациональное число градусов, то, разумеется, содержит рациональное число градусов и угол Поэтому если и угол а содержит рациональное число градусов, то число а может быть рациональным лишь в том случае, когда рационален, т. е. в силу теоремы и, следовательно, (Если , то число самом деле рационально.)

Второе доказательство теоремы 2. В § 2 гл. V (см. стр. 94) было доказано, что если число иррационально, то число а никак не может быть рациональным; с другой стороны, ясно, что если угол а содержит рациональное число градусов, то и угол содержит рациональное число градусов.

Но из теоремы 1 и формулы а вытекает, что из всех углов , таких, что содержит рациональное число градусов и лишь углы 60°, 90° и 120° имеют рациональный косинус. Поэтому из всех углов где и угол а содержит рациональное число градусов, лишь углы могут иметь рациональный синус. Синус угла 30° равен 1/2; т. е. действительно рационален; однако иррационален, ибо иррационально число (см. § 3 гл. III, стр. 59), и иррационален, ибо иррационально число 13 (см. § 4 гл. III, стр. 60). Отсюда и следует, что если угол а содержит рациональное число градусов, то число а иррационально.

Доказательство теоремы 3. В § 2 гл. V было доказано, что если число иррационально, то число а никак не может быть рациональным. Отсюда и из того, что в пределах лишь углы содержащие рациональное число градусов, имеют рациональные косинусы, в точности как во втором доказательстве теоремы 2, доказывается, что из всех углов таких, что угол а содержит рациональное число градусов и лишь углы 30°, 45° и 60° могут иметь рациональные тангенсы. Число очевидно, в самом деле рационально; что же касается чисел то эти числа иррациональны, ибо, как мы знаем (см. стр. 60), число 13 иррационально. Таким образом, из всех содержащих рациональное число градусов углов а, где рациональный тангенс имеет лишь угол 45°.

Приведенное здесь «геометрическое» доказательство теорем 1—3 не является единственно возможным.

Существуют также чисто алгебраические доказательства этих теорем, опирающиеся на известную формулу Муавра из учения о комплексных числах

По этому поводу см. задачу 239 из книги: Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М., Избранные задачи и теоремы элементарной математики (арифметика и алгебра), «Наука», 1965, и решение этой задачи.