§ 7. Краткие выводы

Мы установили ряд результатов о том, насколько хорошо произвольное иррациональное число можно приблизить бесконечным количеством рациональных чисел . Наиболее сильная из доказанных теорем утверждает, что X можно приблизить с точностью до Позже, в § 6, был установлен результат отрицательного характера, согласно которому существует лишь конечное множество рациональных чисел отличающихся от меньше чем на Аналогичный отрицательный результат имеет место для любого алгебраического числа, А именно справедливо следующее утверждение (здесь оно не доказывается): если — алгебраическое число, то существует лишь конечное множество рациональных чисел отличающихся от меньше чем на . В отношении трансцендентных чисел подобное утверждение в общем случае неверно. Оно справедливо лишь для некоторых, но не для всех трансцендентных чисел. В следующей главе мы укажем число, которое можно приблизить бесконечным количеством рациональных чисел не только с точностью до но также с точностью до с точностью до и, вообще, с точностью до для любого которое пожелает выбрать читатель, как бы велико это число ни было. Будет доказано, что это число не является алгебраическим, и, таким образом, мы получим доказательство существования трансцендентных чисел. До сих пор мы говорили о них, не зная даже, существуют они или нет!