§ 5. Иррациональность чисел V6 и V2+V3

Доказательства иррациональности чисел и 3 основывались на свойствах делимости целых чисел соответственно на 2 и 3. В основу соответствующего доказательства иррациональности числа можно положить как делимость на 2, так и на 3. Проводя, например, доказательство параллельно случаю предположим, что

где целые числа а и b не являются одновременно четными. Возводя в квадрат, получаем

Число четно, поэтому четно , а вместе с ним и а. Пусть . Имеем

Согласно последнему соотношению, четно. Но тогда четно а следовательно, и b. Поскольку, согласно предположению, числа а и b не являются одновременно четными, то число должно быть иррациональным. В качестве упражнения читатель может вывести то же заключение с помощью рассуждения, параллельного тому, которое было использовано для доказательства иррациональности

Мы заключим рассмотренное примеров иррациональных чисел выражением . Иррациональность этого числа будет выведена из иррациональности 16. Предположим, что число рационально, и обозначим его через :

После возведения в квадрат и упрощений, получаем

Вспоминая теперь, что множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на нуль), убеждаемся в рациональности числа . Но это противоречит иррациональности числа Следовательно, число должно быть иррациональным.

Каково бы ни было целое число относительно которого известно, что иррационально, аналогичным использованному выше методом можно доказать, что число иррационально.

Упражнения

1. Доказать двумя способами, что квадрат целого числа делится на 5 тогда и только тогда, когда само это целое число делится на 5:

а) дать сначала доказательство, аналогичное приведенному в тексте для случая делимости на 3. Начать с того, что каждое целое число имеет одну из следующих форм:

б) дать затем доказательство, основывающееся на (основной теореме арифметики. Теорему эту можно найти в гл. I или в приложении Б.

2. Доказать, что число иррационально.

3. Доказать, что число иррационально.

4. Доказать, что число иррационально.

5. Доказать, что число иррационально.

6. Известно, что а (альфа) — иррациональное число. Доказать, что число тоже иррационально.

7. Рационально или иррационально число 0?