§ 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды
Ряд с
комплексными членами
(1)
называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд
(2)
модулей его членов.
Абсолютно сходящийся ряд
сходится.
В самом деле,
пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши
для любого
найдется
такое
,
что
для
всех
и
. Тем более, тогда
. Поэтому, в силу
признака Коши ряд (1) сходится.
Сходящиеся ряды
с неотрицательными членами тривиальным образом сходятся абсолютно. Ряд
сходится, потому
что он есть ряд Лейбница. Однако абсолютно он сходится только при
.
Т е о р е м а. Если
ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов сходимость
полученного нового ряда не нарушается и его сумма остается прежней.
Д о к а з а т е
л ь с т в о. Сначала докажем теорему в случае, когда члены ряда
- действительные
числа.
Положим (для
действительных
)
(3)
числа
и
, очевидно, неотрицательные
и
.
(4)
Наряду с рядом
(1) будем рассматривать два ряда,
и
(5)
(с неотрицательными числами).
Пусть ряд (1)
абсолютно сходится и члены его – действительные числа
. Тогда ряды (5) также
сходятся, потому что, очевидно,
.
Пусть ряд,
полученный после перестановки исходного ряда (1), имеет вид
. Для его членов
введем, как выше, числа
и
. Тогда (пояснения ниже)
.
Первое
равенство в этой цепи следует из (4), второе – из § 9.3, (2), если учесть, что
ряды (5) сходятся, третье следует из того, что сходящиеся ряды с
неотрицательными членами перестановочны, четвертое из § 9.3, (2), и, наконец,
пятое – потому, что
. Теорема для действительных
доказана.
Пусть теперь
- комплексные
числа, а числа
имеют
прежний смысл. Так как
, то ряды с (действительными членами)
и
абсолютно
сходятся, и члены их, как сейчас было доказано, можно переставлять. Поэтому,
считая, что
,
получим
.
Теорема доказана полностью.