§ 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды

Ряд с комплексными членами

                                (1) 

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

                            (2)

модулей его членов.

Абсолютно сходящийся ряд сходится.

В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого  найдется такое , что  для всех  и . Тем более, тогда . Поэтому, в силу признака Коши ряд (1) сходится.

Сходящиеся ряды с неотрицательными членами тривиальным образом сходятся абсолютно. Ряд  сходится, потому что он есть ряд Лейбница. Однако абсолютно он сходится только при .

Т е о р е м а. Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов сходимость полученного нового ряда не нарушается и его сумма остается прежней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем теорему в случае, когда члены ряда  - действительные числа.

Положим (для действительных )

            (3)

числа  и , очевидно, неотрицательные и

.                                        (4)

Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда,

  и                                     (5)

(с неотрицательными числами).

Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его – действительные числа . Тогда ряды (5) также сходятся, потому что, очевидно, .

Пусть ряд, полученный после перестановки исходного ряда (1), имеет вид . Для его членов введем, как выше, числа  и . Тогда (пояснения ниже)

.

Первое равенство в этой цепи следует из (4), второе – из § 9.3, (2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье следует из того, что сходящиеся ряды с неотрицательными членами перестановочны, четвертое из § 9.3, (2), и, наконец, пятое – потому, что . Теорема для действительных  доказана.

Пусть теперь  - комплексные числа, а числа  имеют прежний смысл. Так как , то ряды с (действительными членами) и  абсолютно сходятся, и члены их, как сейчас было доказано, можно переставлять. Поэтому, считая, что , получим

.

Теорема доказана полностью.