§ 4.12. Теоремы о среднем значении

По определению функция  достигает в точке  локального максимума (минимума), если существует окрестность этой точки , на которой выполняется неравенство

                                                    (1)

(соответственно   )  (1’)

Локальный максимум или минимум называется локальным экстремумом. Точка  называется точкой локального экстремума.

З а м е ч а н и е  1. Если функция  непрерывна на отрезке  и достигает на нем максимума (минимума) в точке , то, очевидно,  является в то же время точкой локального максимума (минимума) . Другое дело, если максимум (минимум) на   достигается одной из концевых точек отрезка. Такая точка не является точкой локального максимума (минимума) , потому что  не определена в полной ее окрестности (справа от нее и слева).

На рис. 49 изображен график функции , непрерывной на . Точки  и  - это точки  локального минимума , а ,  - точки локального максимума . Конечно, можно сказать, что  есть точка локального одностороннего максимума , а  - локального одностороннего минимума . Но  не есть точка локального минимума, а  не есть точка локального максимума.

Рис. 49

Т е о р е м а  1 (Ферма). Если функция  имеет производную в точке  и достигает в этой точке локального экстремума, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что  имеет в точке  локальный максимум. По определению производной имеем

Так как у нас  , то для достаточно малых

,

откуда в пределе при

.                                                 (2)

Если же , то

,

поэтому, переходя к пределу при  в этом неравенстве, получаем, что

.                                                 (3)

Из соотношений (2) и (3) вытекает, что .

Т е о р е м а  2 (Р о л л я).

Если функция  непрерывна на , дифференцируема на  и , то существует точка , такая, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если  постоянна на , то для всех  производная .

Будем теперь считать, что  непостоянна на . Так как  непрерывна на , то существует точка , в которой  достигает максимума на  (см. § 3.5, теорема 2), и существует точка , в которой  достигает минимума на . Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка ,  потому что иначе

и  была бы постоянной на . Следовательно, одна из точек ,  принадлежит  к интервалу . Обозначим ее через . В ней достигается локальный экстремум. Кроме того,  существует, потому что по условию  существует для всех . Поэтому по теореме Ферма .

З а м е ч а н и е  2. Теорема Ролля сохраняет  силу также для интервала , лишь бы выполнялось соотношение

.

З а м е ч а н и е  3. Теорема Ролля теряет силу, если хотя бы в одной точке   не существует. Пример:  на . В теореме также нельзя заменить непрерывность на  на непрерывность на . Примером является функция

Точка  - точка разрыва.

З а м е ч а н и е  4. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике (рис. 50) функции  существует точка , касательная в которой параллельна оси .

Рис. 50

Т е о р е м а  3 (Коши). Если функции  и  непрерывны на  и дифференцируемы на , и  в , то существует точка  такая, что

.                                                    (4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим, что , так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точка  такая, что , чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию

.

В силу условия теоремы эта функция  непрерывна на , дифференцируема на  и . Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка , в которой . Но

,

поэтому, подставляя вместо  точку , получаем утверждение теоремы.

З а м е ч а н и е   5. В формуле (4) Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать . Но тогда  и  обозначают соответственно множества точек , для которых ,  .

Как следствие из теоремы Коши, при  получим теорему Лагранжа.

Т е о р е м а  4 (о среднем Лагранжа). Пусть  функция  непрерывна на отрезке  и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале  точка , для которой выполняется равенство

.                      (5)

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде

.

Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси хорды, стягивающей точки  и  графика функции , а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой . Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис. 51) есть график непрерывной на  функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе   такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой  и .

Рис. 51

Равенство (5) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение  удобно записывать в виде

,

где  есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид

.           (6)

Она верна, очевидно, не только для , но и для .

Т е о р е м а   5. Функция, непрерывная на отрезке , где , и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале , не убывает (строго возрастает) на .

Действительно, пусть , тогда на отрезке  выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале  точка , для которой

.

Если по условию  на , то  и

;                                        (7)

если же  на , то  и

.                                        (8)

Так как неравенства (7) и (8) имеют место, каковы бы ни были , где , то в первом случае  не убывает, а во втором  строго возрастает на отрезке .

П р и м е р  1. Возвратимся к примеру 1 § 4.7, где надо было оценить величину . Применим формулу Лагранжа к функции . Имеем

.

В примере 1 § 4.7 мы получили такой же результат, но сейчас он получил полное обоснование.

П р и м е р   2. Функция  имеет непрерывную производную

,

и обладает свойствами

.

Следовательно, она строго возрастает и непрерывно дифференцируема на  и отображает интервал  на . Поэтому она имеет обратную однозначную непрерывно дифференцируемую функцию, обозначаемую так: , .

Т е о р е м а  6. Если функция имеет на интервале  производную, равную нулю, то она постоянна на .

В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место равенство

,

где  - фиксированная точка интервала ,  - произвольная его точка (она может находиться справа и слева от ) и  - некоторая, зависящая от  и  точка, находящаяся между  и . Так как по условию  на , то  и  для всех .

Заметим, что в приведенных теоремах ослабление налагаемых в них условий может привести к неверности утверждений (см. замечания 1, 2 к теореме Ролля).

О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что функция  возрастает (убывает) в точке , если существует число  такое, что

   при   .

Очевидно, что если функция  возрастает (убывает) на , то она возрастает (убывает) в каждой точке .

Т е о р е м а   7. Если  (), то функция  возрастает (убывает) в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то, задав , можно найти такое , что  при . Пусть . Взяв , получаем  при , т. е. функция  возрастает в точке .

З а м е ч а н и е   6. Если функция  имеет производную и не убывает на , то  на этом интервале. При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точке   производная от  была отрицательной – это бы противоречило теореме 7.

Если  имеет производную и строго возрастает на  и если у нас других сведений об  нет, то все равно придется заключить, что  на , потому что  строго возрастающая функция в отдельных точках  может иметь производную, равную нулю. Такой например, является функция , строго возрастающая на  и имеющая при  производную, равную нулю.

З а м е ч а н и е   7. Если функция возрастает в точке , то она обязательно возрастает в некоторой окрестности точки .

Примером может служить функция

Очевидно, что

,

и  возрастает в точке . Однако эта функция немонотонна, так как производная  в любой малой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения (см. теорему 5). Для   при  четном она равна , а при  нечетном она равна  .

Т е о р е м а   8. Если функция  четная (нечетная) и дифференцируема на , то  нечетная (четная) функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как   , то производные левой и правой части тоже совпадают: , т. е.  - нечетная функция. (Этот же факт можно доказать, исходя из определения производной.)