§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба

Говорят, что кривая  обращена в точке  выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность  такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке  (т. е. в точке, имеющей абсциссу ) расположена выше (ниже) самой кривой (на  рис. 55 в точке  кривая обращена выпуклостью книзу, в точке  - кверху). Вместо слов «выпукла кверху (книзу)» употребляются слова «вогнута книзу (кверху)».

Говорят, что точка  есть точка перегиба кривой , если при переходе  через  точка кривой (имеющая абсциссу ) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. 55 точка  - точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое такое, что для всех  кривая находится с одной стороны касательной в , а для всех  - с другой.

Рис. 55

Указанные определения выделяют возможные расположения кривой относительно касательной к ней в достаточно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Для функции

ось  пересекает и касается графика функции в точке  и  не есть точка перегиба.

Т е о р е м а   1. Если функция  имеет в точке  вторую непрерывную производную и  , то кривая  обращена в  выпуклостью книзу (кверху.)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Разлагаем  в окрестности  по формуле Тейлора

,

.

Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу :

.

Тогда превышение кривой  над касательной к ней в точке  равно

.

Таким образом, остаток  равен величине превышения кривой  над касательной к ней в точке . В силу непрерывности , если , то и  для ,  принадлежащих достаточно малой окрестности точки , а потому, очевидно, и  для любого отличного от  значения , принадлежащего к указанной окрестности.

Значит, график функции лежит выше касательной, и кривая обращена в точке  выпуклостью книзу.

Аналогично, если , то  для любого отличного от  значения , принадлежащего к некоторой окрестности точки , т. е. график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в  выпуклостью кверху.

С л е д с т в и е. Если  есть точка перегиба кривой  и в ней существует вторая производная , то последняя необходимо равна нулю .

Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой , ищут их среди корней уравнения .

Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой.

Т е о р е м а   2. Если функция  такова, что производная  непрерывна в , а  и , то кривая  имеет в точке  точку перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В этом случае

,

.

В силу непрерывности  в  и того факта, что , следует, что  сохраняет знак в некоторой окрестности точки ; он один и тот же справа и слева от точки . С другой стороны, множитель  меняет знак при переходе  через , а вместе с ним и величина  (равная превышению точки кривой над касательной  в ) меняет знак при переходе  через . Это доказывает теорему.

Сформулируем более общую теорему:

Т е о р е м а   3. Пусть функция  обладает следующими свойствами:

,

 непрерывна в окрестности  и .

Тогда, если  - нечетное число, то кривая  обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли  или , а если - четное, то  есть точка перегиба кривой.

Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора

.

В заключение заметим, что говорят также, что кривая  имеет точку перегиба в точке , где производная  равна  или  (см. рис. 40 и 41 § 4.2).

По определению кривая  называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке , если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами ,   расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды (рис. 56 и 57).

З а м е ч а н и е. Если  дифференцируема на , то приведенное определение выпуклости на отрезке эквивалентно следующему: кривая  называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке , если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке  интервала .

Рис. 56                                                     Рис. 57

Т е о р е м а   4. Пусть функция  непрерывна на  и имеет вторую производную на .

Для того чтобы кривая  была выпуклой кверху (книзу) на , необходитмо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство  для всех .

Эту теорему мы не будем доказывать.

П р и м е р   1. Функция  имеет непрерывную первую производную и вторую производную  на . Поэтому хорда , стягивающая дугу кривой  на , ниже синусоиды (рис. 58). Так как уравнение хорды , то мы получили неравенство

,

часто употребляемое в математическом анализе.

Рис. 58                                                   Рис.59

П р и м е р   2.  при   при  . Так как , то в точке  - перегиб. Далее  при ,  при . Значит, график функции (рис. 59) выпуклый кверху на  и выпуклый книзу на ;  - точка минимума,  - точка максимума.