§ 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Пусть задан интеграл

,                                           (1)

имеющий единственную особенность в точке , и на промежутке  интегрирования . Тогда, очевидно, функция

от  монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена , то существует интеграл (1)

.

Если же  неограничена, то интеграл (1) расходится:

.

Если  на , то пишут

в зависимости от того будет ли интеграл сходиться или расходиться.

Т е о р е м а   1. Пусть интегралы

,                                           (1)

,                                             (2)

имеют единственную особенность в точке  и на промежутке  выполняются неравенства

.                                (3)

Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1) и имеет место неравенство

,

а из расходимости интеграла (1) следует расходимость интеграла (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3) следует, что для

.                                  (4)

Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ограничена числом, равным интегралу (2), но тогда ограничена и левая. И так как левая часть при возрастании  монотонно не убывает, то она стремится к пределу (интегралу):

.

Наоборот, из расходимости интеграла (1) следует, что предел левой части (4) при  равен , а следовательно, и предел правой равен .

Т е о р е м а   2. Пусть интегралы (1) и (2) имеют единственную особенность в точке, подынтегральные функции положительны и существует предел

.                              (5)

Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (5) следует, что для положительного  можно указать такое , что

,

и так как , то

.             (6)

Из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла  и сходимость интеграла , но тогда по предыдущей теореме сходится также интеграл , а вместе с ним интеграл . Обратно, из сходимости  следует сходимость  потому, что наряду с (5) имеет место равенство

.

З а м е ч а н и е. Равенство (5) означает, что функция  эквивалентна функции  при . В этом случае также говорят, что функции  и  имеют одинаковый порядок при  .

П р и м е р   1. Исследовать на сходимость интеграл

.

Имеем

.

Мы применили неравенство (10) § 6.8 и замечание к нему.

Значком  между интегралами будем обозначать тот факт, что эти интегралы, в силу теоремы 2, одновременно сходятся или одновременно расходятся.

П р и м е р   2. .

П р и м е р   3. .

П р и м е р   4. .

Интегралы примеров 2 и 3 имеют единственную особенность в точке . Надо учесть, что .

Интеграл примера 4 имеет единственную особенность в . Надо учесть, что   .

П р и м е р   5.  сходится, потому что

.

Дело в том, что , поэтому найдется  такое, что .

С другой стороны, функция   непрерывна на , следовательно, ограничена на  некоторым числом . Таким образом, она ограничена на  числом .