Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 2.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Пусть задана произвольная
последовательность действительных чисел
. Выберем из нее бесконечное множество
элементов с номерами
. Тогда получим новую последовательность
, которая
называется подпоследовательностью последовательности
. Таких
подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное
множество.
Если последовательность
сходится (к
конечному числу,
или
), то
очевидно, что и любая ее подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же
числу (конечному,
или
).
Последовательность
(1)
может служить примером не
сходящейся последовательности чисел. Все же мы видим, что эта
последовательность содержит в себе подпоследовательность
,
сходящуюся (к 1). Возникает
вопрос, всегда ли это так, всякая ли последовательность действительных чисел
содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу
(конечному,
,
).
Положительный ответ на этот вопрос дает
Т е о р е м а
1. Из всякой последовательности действительных чисел
можно выделить
подпоследовательность
, сходящуюся к конечному числу, или к
,
или к
.
В случае, когда
последовательность
не ограничена сверху (снизу), она,
очевидно, содержит в себе подпоследовательность, стремящуюся к
(к
), что доказывает
теорему. Если же последовательность ограничена, то теорема 1 сводится к следующей
теореме.
Т е о р е м а
2 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности
можно выделить
подпоследовательность
, сходящуюся к некоторому числу.
Д о к а з а т е
л ь с т в о. Так как последовательность точек
ограничена, то все они принадлежат к
некоторому отрезку
, который обозначим через
. Разделим
на два равных
отрезка и обозначим через
самый правый из них, содержащий в
себе бесконечное число элементов
. Один из этих элементов обозначим
через
.
Правее
,
если есть, то конечное число точек
. Разделим
на два равных отрезка и
обозначим через
самый
правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов
. Выберем среди этих
элементов один
с
номером
.
Правее
,
если есть точки
,
то их конечное число.
Продолжим этот
процесс по индукции. В результате получим последовательность вложенных друг в
друга отрезков
,
длины которых
,
, и
подпоследовательность точек нашей последовательности таких, что
. При этом правее
каждого из отрезков имеется не более чем конечное число элементов
.
На основании
принципа вложенных отрезков существует точка
, принадлежащая к любому из отрезков
. Очевидно, что
подпоследовательность
имеет своим пределом
, и мы доказали теорему.