Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
8.8.3. Градиент функции.
Введем вектор
, (6)
называемый градиентом функции
в точке
.
Формула (5) говорит, что производная
от
в
точке
по
направлению единичного вектора
равна проекции градиента в этой точке
на направлении
:
. (7)
Имеет место очевидное неравенство
(8)
для любого вектора
. Если
, что обычно бывает
только в исключительных точках, то
для любого вектора
. Если же
(одна из частных производных
от
не
равна нулю), то (8) есть строгое неравенство для всех единичных векторов
, за исключением
единичного вектора
, направленного в сторону 
. Таким образом,
,
,
. (9)
Из сказанного следует, что градиент
функции
в
точке
можно
определить как вектор, обладающий следующими двумя свойствами:
1) длина его равна
максимальной величине производной по направлению
в
(для дифференцируемой в
функции этот
максимум существует и есть число неотрицательное);
2) если его длина не равна
нулю, то он направлен в ту же сторону, что и вектор
, вдоль которого производная
максимальна.
П р и м е р 1. Пусть
температура
тела
есть
функция от точки
:
и пусть
в некоторой определенной
точке
.
Выпустим из этой точки вектор, равный
. Вдоль этого вектора скорость
возрастания температуры
в
наибольшая, равная положительной
величине
.
Если же в рассматриваемой точке
, то в любом
направлении, выходящем из этой точки, скорость изменения температуры равна
нулю.
З а д а ч а. Найти градиент
функции
в
точках
.