Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках
Пусть задан интеграл
, (1)
т. е. пока формальное выражение
(рисунок), где под знаком
стоит функция
, определенная на интервале
. Таким образом,
может быть конечным
числом или
и
-
конечным числом или
.
Допустим, что интервал
можно разбить на
конечное число интервалов точками
так, что каждый интеграл
(2)
имеет единственную особенность
либо в точке
,
либо в точке
.
Если все несобственные интегралы
(2) сходятся (абсолютно сходятся), то интеграл (1) называется несобственным
сходящимся (абсолютно сходящимся) и символу (1) приписывается число
.
Но если хотя бы один из
интегралов (2) расходится, то интеграл (1) считается расходящимся.
Если
, то, так же как в случае
интегралов с одной особенностью, для интеграла (1) условимся писать
,
если он сходится и
,
если он расходится.
П р и м е р 1.
.
Этот интеграл имеет две
особенности в точке
и
. Соответственно мы его представили
формально в виде суммы двух интегралов, каждый из которых имеет одну из
указанных особенностей. Очевидно,
.
Мы позволили себе считать, что
.
П р и м е р 2.
(3)
В самом деле, этот интеграл имеет две особенности – в
и
, поэтому для его
исследования рассмотрим формальную сумму
.
Под интегралом
стоит положительная
функция, поэтому он либо расходится, либо, если сходится, то абсолютно. Для его
исследования нам помогут неравенства (см. § 3.3, (6) и § 4.19, пример 1).
,
откуда
,
.
Следовательно,
(4)
Далее (см. § 6.10, пример 2)
(5)