Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4.7. Дифференциал функции
4.7.1. Дифференцируемые функции.
Пусть функция
имеет производную в
точке
(конечную):
.
Тогда
для достаточно
малых
можно
записать в виде суммы
и некоторой функции, которую мы
обозначим через
и
которая обладает тем свойством, что она стремится к нулю вместе с
:
и приращение
в точке
может быть записано в виде
или
.
(1)
Ведь выражение
понимается как
функция от
такая,
что ее отношение к
стремится к нулю вместе с
.
О п р е д е л е н и е . Функция
называется
дифференцируемой в точке
, если ее приращение
в этой точке может
быть представлено в виде
,
(2)
где
не зависит от
, но вообще
зависит от
.
Т е о р е м а 1.
Для того, чтобы функция
была дифференцируемой в точке
, т. е. чтобы ее
приращение в этой точке представлялось по формуле (2), необходимо и
достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда
.
Таким образом,
сказать, что
имеет
производную в точке
или
дифференцируема в точке
- это одно и то же.
Поэтому, процесс нахождения производной называют еще дифференцированием
функции.
Д о к а з а т е
л ь с т в о т е о р е м ы 1. Достаточность условия доказана выше: из
существования конечной производной
следовала возможность представления
в виде (1), где
можно положить
.
Н е о б х о д
и м о с т ь у с л о в и я. Пусть функция
дифференцируема в точке
. Тогда из (2),
предполагая
,
получаем
.
Предел правой части при
существует и равен
:
.
Это означает, что
существует производная
.