§ 8.8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент

8.8.1. Производная сложной функции

Ограничимся рассмотрением функций трех переменных, определенных на открытом множестве  (определение открытого множества см. § 8.3, мелкий шрифт). Распространение излагаемых здесь фактов на -мерный случай производится аналогично.

Т е о р е м а   1. Пусть функция

                                    (1)

дифференцируема в точке , а функции

,    (2)

зависящие от скалярного параметра , имеют производную в . Тогда производная по  от сложной функции (производная от  вдоль кривой (2))  вычисляется по формуле

,

или, короче,

.           (3)

В самом деле, вследствие дифференцируемости  в , каково бы ни было достаточно малое приращение ,

.                      (4)

Значению , которому при помощи равенств (2) соответствует точка , придадим приращение . Оно вызовет приращение  функций (2). Если именно их подставить в (4), то получим приращение  функции  в точке . После деления (4) на  и перехода к пределу получим

,

т. е. (3), потому что функции (2) имеют производные, а

( влечет ).

З а м е ч а н и е  1. Если функции  зависят от многих переменных, например от двух:

,

то, фиксируя сначала , а затем , на основании (3) получим

.