§ 9.16. Суммирование рядов и последовательностей
Пусть задан числовой ряд
(1)
и последовательность его
частичных сумм
.
(2)
Ряд (1) может быть сходящимся или
расходящимся.
Последовательность
(3)
называется последовательностью
средних арифметических последовательности
или ряда (1). Легко подсчитать, что
.
Таким образом, члены суммы
отличаются от
соответствующих членов частной суммы ряда (1) тем, что последние умножаются на
числа
,
меньшие единицы. Поэтому, если последовательность
расходится, то может случиться, что
последовательность
все же сходится.
По определению ряд (1) (или последовательность
) суммируется
методом средних арифметических к числу
, если существует предел
.
(4)
Т е о р е м а. Если ряд (1)
сходится к числу
, то он суммируется методом средних
арифметических и притом к тому же числу
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть ряд (1) сходится; тогда существует такое число
, что
, (5)
и такое достаточно большое
натуральное число
, которое мы будем считать
фиксированным (а
,
и в дальнейшем
-
переменными), что
. (6)
Имеем, далее,
,
откуда, учитывая, что
,
получим
,
если
достаточно велико. Следовательно,
или,
что все равно,
,
т. е. теорема верна.
П р и м е р 1. Рассмотрим сходящийся ряд
. Здесь
.
Отсюда
.
П р и м е р 2. Ряд
расходится, но он
суммируется к числу
методом средних арифметических.
В самом деле, для данного ряда
.
Поэтому
;
.
Наряду с последовательностью
средних
арифметических ряда (1) можно рассматривать произвольные средние
ряда (1),
определяемые равенством
,
(7)
где
- произвольная
последовательность действительных чисел, вообще говоря, зависящая от
. Эти числа можно
было бы обозначить через
. Однако ради краткости будем писать
вместо
.
Если
, то
.
Если существует предел
,
(8)
то говорят, что ряд (1) суммируем
методом средних
к
числу
.
Естественно возникает вопрос, при
каких
сходящийся
к
ряд
(1) суммируется методом
к числу
.
Чтобы ответить на этот вопрос,
будем считать, что
;
при
;
.
Тогда
. (9)
Имеет место преобразование Абеля
следующего вида (см. также § 9.8):
,
где
.
Тогда
, (10)
где
- частичные суммы ряда (1).
Далее, используя (9), имеем
.
(11)
Применяя в (11) неравенство Буняковского, получим
. (12)
Теперь, если ряд (1) сходится к
числу
(сумме
ряда), то последовательность
сходится к нулю. Средние
арифметические этой последовательности, по доказанному выше, также сходятся к
нулю.
Поэтому из (12) получаем следующее утверждение: если
числа
таковы,
что
,
(13)
то сходящийся ряд (1) суммируется
методом средних
к
своей сумме.
Заметим, что для средних арифметических
условие
(13) выполнено:
.