§ 6.4. Формула Ньютона – Лейбница
Эта формула имеет вид
(1)
Здесь
- непрерывная на отрезке
функция, а
- какая-либо ее
первообразная на этом отрезке.
Формула Ньютона – Лейбница была
уже доказана в § 6.1. Там предполагалось известным, что непрерывная на
функция
интегрируема и
имеет первообразную на
.
Теперь мы уже знаем из § 6.3, что
интегрируемость непрерывной на
функции влечет за собой существование
у нее первообразной на
.
Приведем другое доказательство
формулы Ньютона – Лейбница. Вернемся к функции
.
(2)
Заметим, что
. (3)
Кроме того, мы знаем, что
есть первообразная
для
на
. Поэтому, если
есть какая-либо,
вообще другая, первообразная, то существует константа
такая, что
. (4)
Из (2), (3), (4) получим
,
и мы доказали формулу (1).
П р и м е р 1.
.
Это показывает, что площадь
(рис. 78) заштрихованной фигуры, лежащей под параболой
, равна
.
П р и м е р 2.
.
Таким образом, площадь фигуры
(рис. 79), ограниченной сверху синусоидой
и снизу – осью
, равна 2.
Рис.
78 Рис. 79
П р и м е р 3. Функция
непрерывна на отрезке
, за исключением
точки
.
Отрезок
можно
разрезать на два отрезка
,
, где она монотонна, следовательно,
интегрируема. Поэтому
интегрируема на
. Справедлива формула
. (5)
В самом деле, на полуинтервале
функция
непрерывна:
. Ее первообразная
на этом полуинтервале равна
. Поэтому, применяя формулу Ньютона –
Лейбница, получим
. (6)
В силу теоремы 1
непрерывна, в частности, в точке
, поэтому
.
(7)
Для
. (8)
Из (6), (7), (8) следует (5).
Более элегантная формула получится, если интегрировать от
точки
:
. (9)
Под интегралом в (9) стоит
разрывная в точке
ограниченная
функция, интеграл как функция верхнего предела
, есть непрерывная функция, в том числе
и в точке
,
что согласуется с теоремой 1 § 6.3. Однако производная
не существует, и это не
противоречит теореме 2 § 6.3, которая гарантирует существование производной
, только если
непрерывна в точке
.
Т е о р е м а 1 (о замене переменной). Имеет место
равенство
, (10)
где функция
непрерывно
дифференцируема на
,
и
непрерывна на
- образе отрезка
при помощи функции
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть
и
- первообразные
функции соответственно
и
. Тогда (см. § 5.2, (1) и ниже)
справедливо тождество
,
, где
- некоторая постоянная. Поэтому
(11)
Но на основании формулы Ньютона –
Лейбница левая часть (11) равна левой части (10), а правая часть (11) – правой
части (10), а это доказывает формулу (10).
П р и м е р 4.
.
З а м е ч а н и е. Верхний предел
интегрирования по
можно
взять равным
,
а результат будет тот же, и это согласуется с теоремой 1.
П р и м е р 5.
,
потому что в полученном интеграле нижний предел равен
верхнему.
П р и м е р 6. Если
- четная функция
, то
,
потому, что
.
П р и м е р 7. Если
- нечетная функция
, то
.
П р и м е р 8. Если
- периодическая функция периода
, то
потому, что
,
и, следовательно,
.
П р и м е р 9.
.
П р и м е р 10. Решим пример 5, используя примеры 8, 7:
,
так как функция
нечетная.
Т е о р е м а 2. Справедлива
формула интегрирования по частям для определенного интеграла:
,
(12)
где
и
- непрерывно
дифференцируемые на
функции.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Произведение
имеет
на
непрерывную
производную
.
Поэтому по теореме Ньютона – Лейбница
,
откуда следует (12).
П р и м е р (11).
Т е о р е м а 3 (о среднем для
определенного интеграла). Для непрерывной на отрезке
функции
существует точка
такая, что
.
(13)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так
как
непрерывна,
то для нее существует первообразная
, поэтому
. (14)
Первое равенство в (14) есть
формула Ньютона-Лейбница для непрерывной на
функции
. Второе равенство есть формула
Лагранжа для
.
Наконец третье следует из того, что
.