§ 6.4. Формула Ньютона – Лейбница

Эта формула имеет вид

            (1)

Здесь  - непрерывная на отрезке  функция, а  - какая-либо ее первообразная на этом отрезке.

Формула Ньютона – Лейбница была уже доказана в § 6.1. Там предполагалось известным, что непрерывная на  функция  интегрируема и имеет первообразную на .

Теперь мы уже знаем из § 6.3, что интегрируемость непрерывной на  функции влечет за собой существование у нее первообразной на .

Приведем другое доказательство формулы Ньютона – Лейбница. Вернемся к функции

.                                               (2)

Заметим, что

.     (3)

Кроме того, мы знаем, что  есть первообразная для  на . Поэтому, если  есть какая-либо, вообще другая, первообразная, то существует константа  такая, что

.                     (4)

Из (2), (3), (4) получим

,

и мы доказали формулу (1).

П р и м е р   1.

.

Это показывает, что площадь  (рис. 78) заштрихованной фигуры, лежащей под параболой , равна .

П р и м е р   2.

.

Таким образом, площадь фигуры (рис. 79), ограниченной сверху синусоидой  и снизу – осью , равна 2.

Рис. 78                                         Рис. 79

П р и м е р    3. Функция

непрерывна на отрезке , за исключением точки . Отрезок  можно разрезать на два отрезка , , где она монотонна, следовательно, интегрируема. Поэтому  интегрируема на . Справедлива формула

.         (5)

В самом деле, на полуинтервале  функция  непрерывна: . Ее первообразная на этом полуинтервале равна . Поэтому, применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

.     (6)

В силу теоремы 1  непрерывна, в частности, в точке , поэтому

.                                         (7)

Для

.   (8)

Из (6), (7), (8) следует (5).

Более элегантная формула получится, если интегрировать от точки :

.                                       (9)

Под интегралом в (9) стоит разрывная в точке  ограниченная функция, интеграл как функция верхнего предела , есть непрерывная функция, в том числе и в точке , что согласуется с теоремой 1 § 6.3. Однако производная  не существует, и это не противоречит теореме 2 § 6.3, которая гарантирует существование производной , только если  непрерывна в точке .

Т е о р е м а  1 (о замене переменной). Имеет место равенство

,         (10)  

где функция  непрерывно дифференцируема на ,  и  непрерывна на  - образе отрезка  при помощи функции .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  и  - первообразные функции соответственно  и . Тогда (см. § 5.2, (1) и ниже) справедливо тождество , , где  - некоторая постоянная. Поэтому

       (11)

Но на основании формулы Ньютона – Лейбница левая часть (11) равна левой части (10), а правая часть (11) – правой части (10), а это доказывает формулу (10).

П р и м е р   4.

.

З а м е ч а н и е. Верхний предел интегрирования по  можно взять равным , а результат будет тот же, и это согласуется с теоремой 1.

П р и м е р   5.

,

потому что в полученном интеграле нижний предел равен верхнему.

П р и м е р   6. Если  - четная функция , то

,

потому, что

.

П р и м е р   7. Если  - нечетная функция , то

.

П р и м е р   8. Если  - периодическая функция периода , то

потому, что

,

и, следовательно,

.

П р и м е р   9.

.

П р и м е р  10. Решим пример 5, используя примеры 8, 7:

,

так как функция  нечетная.

Т е о р е м а  2. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

,               (12)

где  и  - непрерывно дифференцируемые на  функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведение  имеет на  непрерывную производную

.

Поэтому по теореме Ньютона – Лейбница

,

откуда следует (12).

П р и м е р   (11).

Т е о р е м а  3 (о среднем для определенного интеграла). Для непрерывной на отрезке  функции  существует точка  такая, что

.                          (13)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как  непрерывна, то для нее существует первообразная , поэтому

.    (14)

Первое равенство в (14) есть формула Ньютона-Лейбница для непрерывной на  функции . Второе равенство есть формула Лагранжа для . Наконец третье следует из того, что .