Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 4.1. Производная
Понятие
производной – важнейшее понятие математического анализа наряду с понятием
интеграла.
Производной
от функции
в
точке
называется
предел отношения ее приращения
в этой точке к соответствующему
приращению аргумента
, когда последнее стремится к нулю.
Производную
принято обозначать так:
.
(1)
Но широко употребляются и другие
обозначения:
,
,
. Удобство того или
иного из них читатель впоследствии оценит сам.
При фиксированном
величина
есть функция от
.
Для
существования производной от
в точке
необходимо, чтобы функция
была определена в
некоторой окрестности точки
, в том числе в самой точке
. Тогда функция
определена для
достаточно малых не равных нулю
, т. е. для
, удовлетворяющих неравенствам
, где
достаточно мало.
Конечно, не для
всякой функции
,
определенной в окрестности точки
, существует предел (1). Обычно, когда
говорят, что функция
имеет в точке
производную
, подразумевают, что
она конечна, т. е. предел (1) конечный. Однако, может случиться, что существует
бесконечный предел (1), равный
,
, или
. В этих случаях полезно говорить, что
функция
имеет
в точке
бесконечную
производную (равную
,
, или
).
Если в формуле
(1) предполагается, что
, принимая только положительные
значения
,
то соответствующий предел (если он существует) называется правой производной
от
в
точке
.
Его можно обозначить так:
.
Аналогично
предел (1), когда
,
пробегая отрицательные значения
, называется левой производной от
в
.
Конечно, для
вычисления
(соответственно
)
необходимо только, чтобы
была задана в точке
и справа от нее в
некоторой ее окрестности (соответственно в
и слева от
).
Типичным
является случай, когда
задана на отрезке
и имеет во всех внутренних
точках этого отрезка, т. е. в точках интервала
, производную, в точке же
имеет правую
производную, а в точке
- левую. В таких случаях говорят, что функция
имеет
производную на отрезке
, не оговаривая, что на самом деле
в точке
она
имеет только правую производную, а в точке
- только левую.
Нетрудно
видеть, что если функция
имеет правую и левую производные в
точке
и
они равны, то
имеет
производную в
:
.
Но если правая
и левая производные в
существуют и не равны между собой
, то производная
в
не
существует.
П р и м е р. Рассмотрим функцию
(рис. 35). Для нее
.
Если
, то
для достаточно малых
и
.
Рис. 35
Если
, то
для достаточно малых
и
.
Таким образом,
Пусть теперь
. Тогда
Поэтому
.
Таким образом,
функция
имеет
в точке
правую
производную, равную 1, и левую – равную -1, что показывает, что в точке
функция
производной не
имеет.
Мы знаем (см. §
3.3, пример 8), что
есть непрерывная функция для всех
значений
,
в том числе и в точке
, поэтому она может служить примером
непрерывной всюду функции, не имеющей в некоторой точке производной. В
математике известны примеры функций, непрерывных на всей действительной оси и
не имеющих в любой точке оси производной.
С другой
стороны, всякая функция, имеющая производную (конечную!) в
точке
,
непрерывна в этой точке.
В самом деле,
пусть предел (1) существует в точке
и конечен. Этот факт можно записать
следующим образом.
, (2)
где
при
, т. е.
есть бесконечно малая при
. Из (2) следует:
.
Переходя в этом равенстве к
пределу, когда
,
получим
,
что показывает, что
непрерывна в точке
.
Отметим некоторые важные приложения производной.
М г н о в е н н а я с к о р о с
т ь. Пусть функция
выражает закон движения точки на
прямой, которая рассматривается как координатная ось
. Здесь
- координата движущейся
точки в момент времени
. Путь, пройденный точкой за промежуток
времени
,
равен
.
Средняя ее скорость в этом промежутке времени равна
.
Истинную же (мгновенную)
скорость в момент времени
естественно определить как предел
.
С и л а т о к
а. Пусть
есть
количество электричества, проходящее через сечение провода за время
. Тогда
есть средняя сила тока за
промежуток времени
. А предел
есть сила тока в момент времени
.
П л о т н о с т ь р а с п р е д
е л е н и я м а с с ы. Пусть (рис. 36) на отрезке
оси
распределена масса вообще
неравномерно, так, что количество массы, нагруженной на отрезок
, равно
.
Это количество пропорционально
площади фигуры
.
Таким образом,
есть
функция от
. Количество массы,
приходящееся на отрезок
, очевидно, равно
.
Средняя ее плотность на этом
отрезке равна
,
а предел
есть истинная плотность
распределения массы в точке
.
Рис. 36