§ 3.6. Обратная непрерывная функция
Рассмотрим
непрерывную строго возрастающую на отрезке 
функцию 
(рис. 28). Пусть
.
График этой
функции есть непрерывная кривая. Из его рассмотрения видно, что если 
непрерывно
возрастает от 
до
, то 
при этом тоже
непрерывно возрастает от 
до 
, пробегая все значения на отрезке 
по одному разу. Но
тогда каждому значению 
соответствует единственное значение 
такое, что . Этим определена на
отрезке функция.
,
называемая функцией, обратной к
функции .
Очевидно,
функция 
строго
возрастает на отрезке 
, отображает этот отрезок на 
и выполняются
тождества
,
График функции можно получить,
повернув на 
рассматриваемую
плоскость вокруг биссектрисы первого координатного угла системы , 
. Так как в
результате поворота график остается непрерывным, то это показывает, что функция
непрерывна
на .
Таким образом,
пользуясь чисто геометрическими соображениями, мы установили справедливость следующей
теоремы.
Т е о р е м а
1. Пусть функция 
непрерывна на отрезке , строго возрастает
на нем и 
,
.
Тогда: 1)
образ отрезка 
при
помощи есть
отрезок ,
2) существует обратная к функция , однозначная, строго
возрастающая и непрерывная на 
.
Д о к а з а т е
л ь с т в о. Пусть 
есть образ при помощи функции . Так как 
и функция непрерывна
на , то пробегает
все значения между числами 
и 
, и других значений принимать не
может, ведь по условию она возрастает на и 
, 
. Поэтому 
, т. е. отрезок есть образ отрезка при помощи
функции 
.
Отсюда следует, что каждому 
соответствует и притом единственное
значение 
такое,
что .
Единственность следует из того, что на возрастает.
Этим на определена обратная
к функция
.
Графиком ее можно
считать график (рис.
28), если считать, что ось есть ось независимой переменной.
Функция 
непрерывна. Пусть пока 
и 
. Зададим 
так, чтобы 
и положим 
, 
. Тогда 
. Отсюда следует
вследствие монотонности и непрерывности , что для заданного нами нашлась окрестность
точки 
такая, что все ее
точки 
переходят при
помощи функции в
-
окрестность 
точки
. А это
значит, что функция непрерывна в точке .
Доказательство
для точек 
и
аналогично,
оперируя полуинтервалами вместо интервалов.
Незначительно
изменяя приведенные выше рассуждения, можно доказать следующий аналог теоремы
1.
Т е о р е м а 
. Пусть функция непрерывна и
строго возрастает на 
(или на 
, или 
) и
.
Тогда образ
интервала (соответственно
, ) есть
интервал 
(соответственно
, 
) и обратная
к функция
однозначна,
строго возрастает и непрерывна на (, ).
З а м е ч а н и
е . Строго убывающая непрерывная на функция 
имеет обратную строго убывающую
непрерывную функцию на 
, где , . Это легко устанавливается, если
рассмотреть функцию - или же функцию 
.
Если же
непрерывная на функция
не
является строго монотонной на , то можно определить для нее обратную
функцию, но эта последняя уже будет многозначной во всяком случае для
некоторых .
П р и м е р . Функция
,
непрерывна, но немонотонна.
Множество ее значений заполняет отрезок 
. Каждому из этого отрезка
соответствует бесконечное число значений , для которого 
.
Впрочем, например, на отрезке 
функция 
непрерывна и строго
возрастает и имеет обратную непрерывную функцию, которая, как мы знаем,
обозначается так:
.
