107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина.

Если дана система материальных точек

массы которых равны, соответственно,

то центром тяжести системы Q называется точка, координаты которой удовлетворяют условиям

где М означает полную массу системы

При определении центра тяжести можно каким угодно образом группировать точки системы, разбивая их на частные системы с тем, чтобы при вычислении координат центра тяжести Q всей системы заменять всю группу точек, вошедших в какую угодно частную систему, одной точкой, а именно ее центром тяжести, приписав ей массу, равную сумме масс вошедших в нее точек.

Мы не будем останавливаться на доказательстве этого общего принципа, которое не представляет труда и легко может быть проверено на простейших частных случаях системы с тремя, четырьмя и т. д. точками.

Рис. 142.

В дальнейшем мы будем иметь дело не с системами точек, а с тем случаем, когда масса заполняет сплошь некоторую плоскую фигуру (область) или линию.

Для простоты ограничимся рассмотрением лишь однородных тел, плотность которых примем за единицу, так что масса такой фигуры будет равняться ее длине, если она имеет вид линии, и площади, если она имеет вид плоской области.

Пусть сперва нужно определить центр тяжести дуги кривой АВ (рис. 142), длина которой s. Следуя предыдущему общему принципу, разобьем дугу АВ на малых элементов . Центр тяжести всей системы можно вычислить, заменив каждый из этих элементов одной точкой, центром тяжести рассматриваемого элемента, сосредоточив в ней всю массу элемента

Рассмотрим один из таких элементов и обозначим координаты его концов через координаты же его центра тяжести обозначим через (х, у). При достаточном уменьшении элемента можем считать, что точка сколь угодно мало отстоит от точки

По формулам (31) имеем, как и в [104],

откуда, вычислив s по формуле

и определим координаты центра тяжести О.

Из формул (32) и (33) вытекает важная теорема:

Теорема 1 Гульдина. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги данной плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению длины вращающейся дуги на длину пути, описанного при этом вращении центром тяжести дуги.

Рис. 143.

В самом деле, приняв ось вращения за ось ОХ, для поверхности F тела, описанного при вращении дуги АВ, имеем (27) [106]

[в силу (33)], что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь некоторую плоскую область S (площадь которой обозначим также через S). Допустим для простоты, что эта область (рис. 143) ограничена двумя кривыми, ординаты которых обозначим через

Следуя общему принципу, указанному в начале этого номера, разобьем фигуру на вертикальных полосок прямыми, параллельными оси OY. При вычислении координат центра тяжести О фигуры мы можем заменить каждую такую полоску ее центром тяжести, сосредоточив в нем массу полосок Рассмотрим одну из таких полосок; обозначим через абсциссы ограничивающих ее прямых и через х, у — координаты центра тяжести.