82. Кривые в полярных координатах.
Положение точки М на плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах. 1) ее расстоянием 
от некоторой данной точки О (полюс) и 2) углом 
который образует направление отрезка ОМ с данным направлением (L) (полярная ось).
Рис. 102.
Рис. 103.
Часто называют 
— радиусом-вектором и 
— полярным углом. Если принять полярную ось за ОХ, а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (рис. 103):
Данному положению точки М соответствует одно определенное положительное значение 
и бесчисленное множество значений 
, которые отличаются слагаемым, кратным 
Если М совпадает с О, то 
— совершенно неопределенно.
Всякая функциональная зависимость вида 
(явная) или 
(неявная) имеет в полярной системе координат свой график. Чаще приходится иметь дело с явным уравнением
В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения 
, причем если некоторому значению 1 соответствует отрицательное значение 
, то условимся откладывать это значение 
в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением 6.
Рис. 104.
Считая, что на некоторой заданной кривой 
есть функция 
, мы видим, что уравнения (39) представляют собой параметрическую форму уравнения этой кривой, причем х и у зависят от параметра 
как непосредственно, так и через посредство 
. Мы можем поэтому прилагать в данном случае формулы (33) и (34) [77] Обозначая через а угол, составленный касательной с осью ОХ, будем иметь, применяя первую из формул (33),
где через 
мы обозначаем производную от 
по 
.
Введем еще в рассмотрение угол 
между положительными направлениями радиуса-вектора и касательной к кривой (рис. 104). Мы имеем:
и, следовательно,
Дифференцируя равенства (39) по 
и принимая во внимание, что 
соответственно равны 
, получим
Подставляя эти выражения 
в написанные выше выражения для 
будем иметь
и, следовательно,
Из (39) следует
а потому
и равенство 
Дает нам, если мы разделим числитель и знаменатель на 
:
Из формулы же 
имеем
где 
— производные первого и второго порядка от 
по 
. Подставляя полученные выражения производных в предыдущую формулу, будем иметь для радиуса кривизны:
