82. Кривые в полярных координатах.
Положение точки М на плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах. 1) ее расстоянием
от некоторой данной точки О (полюс) и 2) углом
который образует направление отрезка ОМ с данным направлением (L) (полярная ось).
Рис. 102.
Рис. 103.
Часто называют
— радиусом-вектором и
— полярным углом. Если принять полярную ось за ОХ, а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (рис. 103):
Данному положению точки М соответствует одно определенное положительное значение
и бесчисленное множество значений
, которые отличаются слагаемым, кратным
Если М совпадает с О, то
— совершенно неопределенно.
Всякая функциональная зависимость вида
(явная) или
(неявная) имеет в полярной системе координат свой график. Чаще приходится иметь дело с явным уравнением
В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения
, причем если некоторому значению 1 соответствует отрицательное значение
, то условимся откладывать это значение
в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением 6.
Рис. 104.
Считая, что на некоторой заданной кривой
есть функция
, мы видим, что уравнения (39) представляют собой параметрическую форму уравнения этой кривой, причем х и у зависят от параметра
как непосредственно, так и через посредство
. Мы можем поэтому прилагать в данном случае формулы (33) и (34) [77] Обозначая через а угол, составленный касательной с осью ОХ, будем иметь, применяя первую из формул (33),
где через
мы обозначаем производную от
по
.
Введем еще в рассмотрение угол
между положительными направлениями радиуса-вектора и касательной к кривой (рис. 104). Мы имеем:
и, следовательно,
Дифференцируя равенства (39) по
и принимая во внимание, что
соответственно равны
, получим
Подставляя эти выражения
в написанные выше выражения для
будем иметь
и, следовательно,
Из (39) следует
а потому
и равенство
Дает нам, если мы разделим числитель и знаменатель на
:
Из формулы же
имеем
где
— производные первого и второго порядка от
по
. Подставляя полученные выражения производных в предыдущую формулу, будем иметь для радиуса кривизны: