82. Кривые в полярных координатах.

Положение точки М на плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах. 1) ее расстоянием от некоторой данной точки О (полюс) и 2) углом который образует направление отрезка ОМ с данным направлением (L) (полярная ось).

Рис. 102.

Рис. 103.

Часто называют — радиусом-вектором и — полярным углом. Если принять полярную ось за ОХ, а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (рис. 103):

Данному положению точки М соответствует одно определенное положительное значение и бесчисленное множество значений , которые отличаются слагаемым, кратным

Если М совпадает с О, то — совершенно неопределенно.

Всякая функциональная зависимость вида (явная) или (неявная) имеет в полярной системе координат свой график. Чаще приходится иметь дело с явным уравнением

В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения , причем если некоторому значению 1 соответствует отрицательное значение , то условимся откладывать это значение в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением 6.

Рис. 104.

Считая, что на некоторой заданной кривой есть функция , мы видим, что уравнения (39) представляют собой параметрическую форму уравнения этой кривой, причем х и у зависят от параметра как непосредственно, так и через посредство . Мы можем поэтому прилагать в данном случае формулы (33) и (34) [77] Обозначая через а угол, составленный касательной с осью ОХ, будем иметь, применяя первую из формул (33),

где через мы обозначаем производную от по .

Введем еще в рассмотрение угол между положительными направлениями радиуса-вектора и касательной к кривой (рис. 104). Мы имеем:

и, следовательно,

Дифференцируя равенства (39) по и принимая во внимание, что соответственно равны , получим

Подставляя эти выражения в написанные выше выражения для будем иметь

и, следовательно,

Из (39) следует

а потому

и равенство Дает нам, если мы разделим числитель и знаменатель на :

Из формулы же имеем

где — производные первого и второго порядка от по . Подставляя полученные выражения производных в предыдущую формулу, будем иметь для радиуса кривизны: