163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных.

Пусть система уравнений

выражающая необходимое условие максимума или минимума, дала нам значения которые надо исследовать. Предположим, что имеет непрерывные частные производные до второго порядка в точке и некоторой ее окрестности.

Согласно формуле Тейлора (4), при можем написать

Принимая во внимание, что являются решением системы (6), можем переписать это равенство так:

Положим

При малых по абсолютному значению h и будет мало, и наоборот, и условия h и с одной стороны, и с другой — между собой равносильны.

Формула (7) примет вид:

Принимая во внимание непрерывность производных второго порядка и считая h и k или, что то же, бесконечно малыми, можем утверждать, что производные в правой части формулы (8), вычисленные при значениях бесконечно мало отличающихся от сами бесконечно мало отличаются от чисел

а потому коэффициенты при в квадратной скобке формулы (8) можно заменить соответственно на где суть величины, бесконечно малые одновременно с h и k (или с ).

Формулу (8) можно после этого переписать так:

где

есть величина, бесконечно малая одновременно с к и k (или с ).

Из определения максимума и минимума следует, что если правая часть равенства (9) при всех достаточно малых значениях сохраняет знак (—), то значениям соответствует максимум функции ; если она сохраняет знак то указанным значениям будет соответствовать минимум функции; если же, наконец, при сколь угодно малых значениях правая часть равенства (9) может иметь как знак так и знак (—), то значениям не соответствуют ни максимум, ни минимум функции.

При исследовании знака правой части равенства (9) могут представиться следующие четыре случая:

I. Если трехчлен

не обращается в нуль ни при одном значении а, то как непрерывная функция от а он сохраняет неизменный знак [55]. Пусть это будет знак . В промежутке ) эта непрерывная функция достигает своего наименьшего (положительного) значения . В силу периодичности а это же наименьшее значение будет иметь место и для любых значений а. Величина при всех достаточно малых значениях меньше , и при этом знак правой части равенства (9) определяется знаком трехчлена (10), т. е. будет в этом случае мы будем иметь минимум.

II. Положим теперь, что трехчлен (10), не обращаясь ни при каких значениях а в нуль, сохраняет знак (—). Пусть — наименьшее (отрицательное) значение этого трехчлена в промежутке ) изменения а. Величина при достаточно малых значениях меньше , и при этом знак правой части равенства (9) будет постоянно (—), т. е. в этом случае мы будем иметь максимум.

III. Положим теперь, что трехчлен (10) меняет знак. Пусть при он равен положительному числу а при отрицательному числу

При всех достаточно малых значениях будет меньше При таких значениях и при знак правой части равенства (9) будет определяться знаком трехчлена (10), т. е. будет при при Таким образом, в рассматриваемом случае знак правой части равенства (9) может быть и при сколь угодно малых значениях , т. е. в этом случае мы не будем иметь ни максимума, ни минимума.

IV. Положим, наконец, что трехчлен (10), сохраняя неизменный знак, может обращаться в нуль при некоторых значениях а. В этом случае без дальнейшего исследования знака мы не можем сделать никаких заключений о знаке правой части равенства (9), и этот случай остается сомнительным в нашем исследовании.

Итак, все свелось к исследованию знака трехчлена (10) при изменении а, и мы укажем простые признаки, позволяющие судить, с каким из указанных четырех случаев мы имеем дело.

1. Положим сначала, что . Трехчлен (10) мы можем представить в виде:

Если то числитель написанной дроби представляет собою сумму двух положительных слагаемых, которые не могут обратиться в нуль одновременно. Действительно, второе слагаемое обращается в нуль, только если но при этом и первое слагаемое обращается в Таким образом, в рассматриваемом случае знак выражения (11) совпадает со знаком , и, следовательно, при будем иметь случай (I), т. е. минимум, а при случай (И), т. е. максимум.

2. Предполагая по-прежнему положим, что Числитель дроби (11) будет иметь знак при и знак при а потому при указанных условиях мы будем иметь случай (III), т. е. не будет ни максимума, ни минимума.

3. Если при мы положим, что то числитель дроби (11) приводится к первому слагаемому и, сохраняя неизменный знак обращается в нуль при т. е. при этих условиях мы имеем дело с сомнительным случаем (IV).

4. Положим, что но Трехчлен (10) имеет тогда вид: При значениях a, близких к нулю, выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет неизменный знак, совпадающий со знаком а первый множитель а имеет разные знаки, смотря по тому, будет ли а больше или меньше нуля, т. е. имеет место случай (III) — ни максимума, ни минимума.

5. Предположим, наконец, что Тогда трехчлен (10) приведется к одному слагаемому и, следовательно, не меняя знака, может обращаться в нуль, т. е. мы имеем дело с сомнительным случаем.

Принимая во внимание, что в случае 4 будет в случае 5 имеем ЛС можем высказать следующее правило: для нахождения максимумов и минимумов внутри области при предположении, что функция непрерывна там и имеет непрерывные производные до второго порядка, надо составить частные производные и решить систему уравнений

Пусть какое-нибудь решение этой системы. Положив

производим исследование решения по следующей схеме: