134. Приближенные формулы.

Ряд Маклорена, в случае его сходимости, дает возможность приближенно вычислять функцию заменяя ее конечным числом членов разложения:

Чем меньше , тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления с желаемой точностью. Если весьма мало, то достаточно ограничиться только первыми двумя членами, отбросив все остальные. Таким образом получается весьма простая приближенная формула для которая при малых вполне может заменить часто весьма сложное точное выражение для

Приведем такие приближенные формулы для наиболее важных функций:

Пользуясь этими приближенными формулами при близких к нулю (положительных или отрицательных), можно значительно упрощать сложные выражения.

Примеры.

3. Определить увеличение объема тела при нагревании (объемное расширение), когда известен коэффициент линейного расширения а. Если один из линейных размеров тела при есть , то при нагревании до он будет

а, коэффициент расширения, для большинства тел — весьма малая величина Так как объемы относятся, как кубы линейных размеров, можем писать

т. e. число За дает нам коэффициент объемного расширения. Для плотности , которая обратно пропорциональна объему, найдем аналогичную зависимость:

Понятно, что все эти приближенные формулы годятся только при достаточно малых в противном же случае они оказываются уже неточными, и необходимо привлекать к рассмотрению дальнейшие члены разложения.