122. Интегральный признак сходимости Коши.

Предположим, что члены данного ряда

положительны и не возрастают, т. е.

Изобразим члены ряда графически, откладывая по оси абсцисс независимую переменную принимающую пока только целые значения, а по оси ординат — соответствующие значения (рис. 155). Всегда можно найти такую непрерывную функцию которая при целых значениях принимает как раз значения для этого достаточно провести непрерывную кривую через все построенные точки; будем при этом считать, что и функция не возрастающая.

Рис. 155.

При таком графическом изображении сумма первых членов данного ряда

представится как сумма площадей выходящих прямоугольников, которая заключает внутри себя площадь фигуры, ограниченной кривой осью ОХ и ординатами а потому

С другой стороны, та же фигура заключает внутри себя все „входящие" прямоугольники, сумма площадей которых равна

а потому

Эти неравенства приводят нас к следующему признаку.

5. Интегральный признак Коши. Ряд (27)

члены которого положительны и не возрастают при возрастании , сходится или собственно расходится, смотря по тому, имеет ли интеграл

конечное значение или равен бесконечности.

Напомним при этом, что должна убывать при возрастании Пусть сперва интеграл имеет конечное значение, т. е. кривая имеет конечную площадь [98]. Из положительности вытекает

а потому, в силу (31),

т. е. сумма остается ограниченной при всех значениях и на основании признака I [120] ряд (27) будет сходящимся.

Пусть теперь т. е. интеграл

при увеличении может быть сделан больше любого заданного наперед числа N. Тогда в силу (29) и сумма может быть сделана больше N, т. е. ряд (27) будет собственно расходящимся.

Аналогичным путем можно показать, что остаток ряда (27) не превосходит интеграла

Замечание. При применении признака Коши в интеграле (32) нижний предел, равный единице, можно заменить любым числом а, большим единицы, так как интегралы с нижним пределом единица и а одновременно или сходятся или расходятся [98].

Примеры. 1. Гармонический ряд

Здесь мы имеем

а потому можно положить

тогда

и интеграл расходится, ибо при данный ряд, как мы уже знаем, расходящийся.

2. Более общий ряд

где — любое число, большее нуля (при ряд, очевидно, расходящийся). Здесь мы имеем

Отсюда ясно, что интеграл расходится, если 1, и сходится и равен если Действительно, в последнем случае показатель при и, следовательно,

Следовательно, в силу признака Коши, ряд (33) будет сходящимся, если и расходящимся, если .