ГЛАВА III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 8. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

86. Понятие о неопределенном интеграле.

Одной из основных задач дифференциального исчисления является задача нахождения производной или дифференциала данной функции.

Первой основной задачей интегрального исчисления является обратная задача — отыскание функции по заданной ее производной или дифференциалу.

Пусть дана производная

или дифференциал

неизвестной функции у.

Функция имеющая данную функцию своей производной своим дифференциалом, называется первообразной данной функции

Если, например,

то первообразной функцией будет, например, . Дейст вительно,

Допустим, что мы нашли какую-нибудь первообразную функцию данной функции которая имеет своей производной, т. е. удовлетворяет соотношению

Так как производная от произвольной постоянной С равна нулю, мы имеем также

т. е. наряду с и функция есть также первообразная функция для

Отсюда следует, что если задача нахождения первообразной функции имеет хоть одно решение, то она имеет и бесчисленное множество других решений, отличающихся от упомянутого на произвольное постоянное слагаемое. Можно, однако, показать, что этим и исчерпываются все решения задачи, а именно:

Если есть какая-либо из первообразных функций для данной функции то любая другая первообразная функция имеет вид

где С есть произвольная постоянная.

В самом деле, пусть есть любая функция, имеющая своей производной. Мы имеем

С другой стороны, и рассматриваемая функция имеет своей производной, т. е.

Вычитая это равенство из предыдущего, получаем

откуда, в силу известной теоремы [63],

где С есть постоянная, что и требовалось доказать.

Полученный нами результат можно еще формулировать так: если производные (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Самое общее выражение для первообразной функции называется также неопределенным интегралом от данной функции или от данного дифференциала и обозначается символом

причем функция называется подынтегральной функцией, а подынтегральным выражением.

Найдя какую-нибудь первообразную функцию в силу доказанного выше можем написать

где С есть произвольная постоянная.

Приведем механическое и геометрическое истолкование неопределенного интеграла. Пусть у нас имеется закон аналитической зависимости скорости от времени:

и требуется найти выражение пути s от времени.

Так как скорость движения точки по заданной траектории есть производная — от пути по времени, то задача сводится к нахождению первообразной данной функции т. е.

Мы получаем бесчисленное множество решений, отличающихся на постоянное слагаемое. Эта неопределенность ответа имеет место вследствие того, что мы не фиксировали того места, от которого отсчитываем пройденный путь s. Если, например, (равномерно ускоренное движение), то для 5 мы получим выражение

ибо, как нетрудно проверить, производная выражения (1) по t совпадает с заданным выражением Если мы согласимся отсчитывать s от той точки, которая соответствует значению т. е. если согласимся считать при то мы должны будем в формуле (1) положить постоянную . В предыдущих рассуждениях мы обозначили независимую переменную не буквой х, а буквой t, что, конечно, не имеет существенного значения.

Рис. 114.

Перейдем теперь к геометрическому истолкованию задачи нахождения первообразной функции. Соотношение показывает, что график искомой первообразной функции, или, как говорят, интегральная кривая

есть кривая, касательная к которой при любом значении имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентом

Иными словами, при любом значении независимой переменной соотношением (2) задано направление касательной к кривой и требуется найти эту кривую. Если построена одна такая интегральная кривая, то все кривые, которые мы получим, передвигая ее на любой отрезок параллельно оси , будут иметь при одном и том же значении параллельные касательные с тем же угловым коэффициентом что и исходная кривая. Упомянутый параллельный перенос равносилен прибавлению к ординатам кривой постоянного слагаемого С, и общее уравнение кривых, отвечающих задаче, будет

Для того чтобы вполне определить положение искомой интегральной кривой, т. е. выражение искомой первообразной функции, нужно задать еще какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, хотя бы точку пересечения ее с некоторой прямой

параллельной оси ОУ. Такое задание равносильно заданию начального значения искомой функции y = F(x), которое она должна иметь при заданном значении . Подставляя эти начальные значения в уравнение (3), мы получим уравнение для определения произвольной постоянной С:

и окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид:

Прежде чем выяснить свойства неопределенного интеграла и способы нахождения первообразной функции, мы изложим вторую основную задачу интегрального исчисления, и выясним ее связь с формулированной уже нами первой задачей — задачей нахождения первообразной функции. Существенным для дальнейшего является новое понятие, а именно понятие определенного интеграла. Для того чтобы естественно прийти к этому новому понятию, мы будем исходить из интуитивного представления площади. Оно же будет служить нам и для выяснения связи между понятием определенного интеграла и понятием первообразной функции. Таким образом, рассуждения следующих двух номеров, основанные на интуитивном представлении площади, не являются строгими доказательствами новых фактов. Логически строгая схема построения основ интегрального исчисления указана в конце [88]. Она приведена полностью в конце настоящей главы.

Рис. 115.