78. Цепная линия.

Цепной линией называется кривая, которая при соответствующем выборе координатных осей имеет уравнение:

Кривая эта дает форму равновесия тяжелой нити, подвешенной за два конца. Ее нетрудно построить по правилам, указанным в [73], и вид ее указан на рис. 93. Определим первую и вторую производные от у:

откуда

Подставляя это выражение во вторую из формул (31), получим для длины нормали кривой

и подставляя выражение для в формулу получим

т. е. радиус кривизны цепной линии равен длине нормали MN. При ордината у цепной линии принимает наименьшее значение и соответствующая точка А кривой называется ее вершиною.

На рис. 93 указаны еще некоторые вспомогательные линии, которые нам понадобятся впоследствии. При замене на уравнение цепной линии не меняется, т. е. ось OY есть ось симметрии цепной линии.