156. Дифференциалы высших порядков.

Полный дифференциал функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом мы получим дифференциал второго порядка первоначальной функции , который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка первоначальной функции и т. д.

Рассмотрим подробнее случай функции двух переменных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению

При вычислении будем принимать во внимание, что дифференциалы независимых переменных надо рассматривать как величины постоянные, а потому их можно выносить за знак дифференциала

Вычисляя точно так же мы получим

Эти выражения приводят нас к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвысить в степень , применяя формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и надо считать указателями порядка производных по х и у от функции

Мы убедились в справедливости формулы (13) при , равном 1, 2 и 3. Для полного ее доказательства необходимо применить обычный способ доказательства от к . Положим, что формула (13) справедлива при некотором . Определим дифференциал порядка:

где символом

мы обозначаем, вообще:

Принимая во внимание, что для формула (13) считается доказанной, можем написать

т. е. формула доказана и для и.

Формула (13) обобщается без труда и на случай функции любого числа независимых переменных. Формула (13) справедлива, как мы знаем [153], не только в том случае, когда и у суть независимые переменные. Но при выводе выражения существенным было считать величинами постоянными, и формула (13) справедлива лишь в тех случаях, когда могут считаться постоянными.

Это будет справедливо, если х и у суть независимые переменные. Положим теперь, что х и у суть линейные функции независимых переменных z и

где коэффициенты и свободные члены — постоянные. Для получим выражения

Но как дифференциалы независимых переменных, должны считаться постоянными; то же можно сказать, следовательно, в этом случае и относительно мы можем поэтому утверждать, что символическая формула (13) справедлива как в случае, когда и у суть независимые переменные, так и в том случае, когда они суть линейные функции (целые многочлены первой степени) независимых переменных.

Если нельзя считать постоянными, то формула (13) уже не будет справедливой. Разберем выражение в этом общем случае. При вычислении

мы уже не имеем права выносить за знак дифференциала, как это делали выше, но должны применять формулу для дифференциала произведения [153].

Мы получим, таким образом,

Сумма первых двух слагаемых в правой части этого равенства даст нам выражение, которое мы имели выше для и окончательно получим

т. е. в рассматриваемом общем случае выражение для будет содержать добавочные слагаемые, зависящие от .