139. Признак Куммера.
Признаки Коши и Даламбера сходимости и расходимости рядов [121], при всей их практической важности, все же являются весьма частными и неприменимы во многих даже сравнительно простых случаях. Проводимый ниже признак обладает гораздо большей общностью. Признак Куммера. Ряд с положительными членами
сходится, если существует такая последовательность положительных чисел 
что, начиная с некоторого значения 
, было всегда
где а — некоторое положительное число, не зависящее от 
; ряд (9) расходится, если при тех же значениях 
:
и, кроме того, ряд 
расходящийся.
Не ограничивая общности, мы можем считать, что условия теоремы выполняются, уже начиная с 
Пусть сперва выполнено условие (10). Мы выводим из него, положив 
откуда, складывая почленно и приводя подобные члены, находим
Мы видим отсюда, что ряд (9) с положительными членами, сумма 
первых членов которого без их остается меньше постоянного числа не зависящего от 
, сходится [120].
Пусть теперь выполнено условие (11). Оно дает нам
т. е. отношение не меньше соответствующего отношения членов расходящегося ряда
Расходимость ряда (9) будет следовать тогда из следующей леммы о рядах с положительными членами:
Дополнение к признаку Даламбера. Если, начиная с некоторого значения 
, отношение не превосходит соответствующего отношения членов сходящегося ряда
то и ряд
сходится. Если же отношение остается не меньшим соответствующего отношения членов расходящегося ряда (12), то и ряд 
расходящийся.
Действительно, пусть сперва имеем
причем ряд (12) сходится. Мы имеем последовательно
откуда, перемножая, находим
Из последнего неравенства и замечания в 
следует сходимость ряда (13). Аналогичным образом можно доказать и расходимость его, в случае, если и ряд (12) расходится.
