139. Признак Куммера.

Признаки Коши и Даламбера сходимости и расходимости рядов [121], при всей их практической важности, все же являются весьма частными и неприменимы во многих даже сравнительно простых случаях. Проводимый ниже признак обладает гораздо большей общностью. Признак Куммера. Ряд с положительными членами

сходится, если существует такая последовательность положительных чисел что, начиная с некоторого значения , было всегда

где а — некоторое положительное число, не зависящее от ; ряд (9) расходится, если при тех же значениях :

и, кроме того, ряд расходящийся.

Не ограничивая общности, мы можем считать, что условия теоремы выполняются, уже начиная с Пусть сперва выполнено условие (10). Мы выводим из него, положив

откуда, складывая почленно и приводя подобные члены, находим

Мы видим отсюда, что ряд (9) с положительными членами, сумма первых членов которого без их остается меньше постоянного числа не зависящего от , сходится [120].

Пусть теперь выполнено условие (11). Оно дает нам

т. е. отношение не меньше соответствующего отношения членов расходящегося ряда

Расходимость ряда (9) будет следовать тогда из следующей леммы о рядах с положительными членами:

Дополнение к признаку Даламбера. Если, начиная с некоторого значения , отношение не превосходит соответствующего отношения членов сходящегося ряда

то и ряд

сходится. Если же отношение остается не меньшим соответствующего отношения членов расходящегося ряда (12), то и ряд расходящийся.

Действительно, пусть сперва имеем

причем ряд (12) сходится. Мы имеем последовательно

откуда, перемножая, находим

Из последнего неравенства и замечания в следует сходимость ряда (13). Аналогичным образом можно доказать и расходимость его, в случае, если и ряд (12) расходится.