185. Разложение многочлена на множители.

Всякий многочлен

согласно основной теореме, имеет корень а потому делится на и мы можем написать [184]

Второй множитель произведения, стоящего в правой части этого равенства, имеет, согласно упомянутой основной теореме, корень , а потому делится на и мы можем написать

Продолжая таким образом выделять множители первой степени, мы получим окончательно следующее разложение на множители:

т. e. всякий многочлен степени разлагается на множителей, один из которых равен старшему коэффициенту, а остальные суть двучлены первой степени вида .

При подстановке по крайней мере один из множителей в разложении (3) обратится в нуль, т. е. значения суть корни

Любое значение отличное от всех не может быть корнем так как при таком значении z ни один из сомножителей в разложении (3) в нуль не обратится.

Если все числа различны между собой, то имеет ровно различных корней. Если среди чисел есть одинаковые, то число различных корней будет меньше n.

Таким образом, мы можем высказать теорему: многочлен степени алгебраическое уравнение степени) не может иметь более различных корней.

Непосредственным следствием этой теоремы является следующее предложение: если известно, что некоторый многочлен степени не выше имеет более различных корней, то все коэффициенты этого многочлена и свободный член равны нулю, т. е. этот многочлен равен нулю тождественно.

Положим, что значения двух многочленов степени не выше совпадают более чем при различных значениях z. Их разность есть многочлен степени не выше , имеющий более различных корней, а потому эта разность обращается тождественно в нуль и имеют одинаковые коэффициенты. Если значения двух многочленов степени не выше совпадают более чем при различных значениях то все коэффициенты этих многочленов и свободные члены одинаковы, т. е. эти многочлены тождественно равны между собой.

Это свойство многочленов лежит в основе так называемого метода неопределенных коэффициентов, которым мы в дальнейшем будем пользоваться. Практически сущность этого метода сводится к тому, что из тождественного равенства двух многочленов вытекают равенства коэффициентов этих многочленов при одинаковых степенях .

Разложение (3) было нами получено путем выделения множителей первой степени из многочлена в определенном порядке. Покажем теперь, что окончательный вид разложения не зависит от того, каким образом мы выделяли указанные множители, т. е. что многочлен имеет единственное разложение на множители вида (3).

Положим, что, кроме разложения (3), имеет место разложение

Сравнивая эти два разложения, можем написать тождество

Левая часть этого тождества обращается в нуль при следовательно, то же должно иметь место и по отношению к правой части, т. е. по крайней мере одно из чисел должно быть равным . Можно, например, считать, что Сокращая обе части написанного тождества на получим равенство

справедливое при всех значениях кроме, может быть, Но при этом, в силу доказанного выше предложения, это равенство также должно быть тождеством. Рассуждая так же, как и выше, докажем, что и т. д. и, наконец, что т. е. разложение должно совпадать с разложением (3).