73. Построение графиков.

Укажем теперь схему действий, которые надо проделать при построении кривой

более полную, чем это сделано в [59].

Для этого нужно:

а) определить промежуток изменения независимой переменной х

б) определить точки пересечения кривой с осями координат;

в) определить вершины кривой;

г) определить выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой;

д) определить асимптоты кривой;

е) выяснить симметричность кривой относительно осей координат, если таковая существует.

Для более точного вычерчивания кривой полезно также наметить еще ряд точек кривой. Координаты этих точек можно вычислить, пользуясь уравнением кривой.

1. Вычертим кривую

а) х может изменяться в промежутке .

б) Полагая , получим ; полагая у = 0, получим , т. е. кривая пересекается с осями координат в точках .

в) Составляем первую и вторую производные

Применяя обычное правило, получим вершины (3, 0) — минимум, (— 1, — 2) — максимум.

г) Из выражения второй производной видно, что она положительна при и отрицательна при , т. е. промежуток есть промежуток вогнутости кривой, а промежуток есть промежуток выпуклости. Точек перегиба нет, так как меняет знак лишь при а этому значению соответствует, как мы сейчас увидим, асимптота, параллельная оси ОУ.

д) При у обращается в бесконечность, и кривая имеет асимптоту

Будем теперь искать асимптоты, непараллельные оси

т. е. асимптота будет

Предлагаем читателю исследовать расположение кривой относительно асимптоты.

е) Симметрии не имеется.

Нанося все полученные данные на чертеж, получим кривую (рис. 83).

2. Исследуем кривые:

которые дают форму тяжелой балки, изгибающейся под влиянием собственного веса, причем первая кривая относится к тому случаю, когда концы балки могут свободно поворачиваться, а вторая — когда они заделаны наглухо. Общая длина балки , начало координат в середине балки и ось ОУ направлена вертикально вверх.

а) Очевидно, нас интересует изменение лишь в промежутке

б) Полагая получим т. е. в первом случае прогиб середины балки в пять больше, чем во втором. При что соответствует концам балки.

в) Определим производные

В обоих случаях в промежутке будет существовать минимум при что соответствует прогибу середины балки, о котором мы говорили выше.

г) В первом случае в промежутке , т. е. в первом случае вся балка обращена вогнутостью вверх. Во втором случае обращается в нуль при и меняет притом знак, т. е. соответствующие точки будут точками перегиба балки.

д) Бесконечных ветвей нет.

е) В обоих случаях уравнение не меняется при замене на т. е. в обоих случаях кривая симметрична относительно оси .

На рис. 84 изображены обе кривые. Для простоты нами взят случай на практике длина балки значительно больше ее прогиба, т. е. а значительно больше с, так что внешний вид кривой прогиба будет несколько иной (какой?).

Рис. 83.

Рис. 84.

Предлагаем читателю найти точки перегиба кривой

и сравнить с рис. 60, на котором изображен соответствующий график.