99. Замена переменной под знаком определенного интеграла.

Пусть непрерывна в промежутке или даже в более широком промежутке , о котором будет сказано ниже. Пусть далее функция однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную в промежутке , причем

Положим далее, что значения при изменении t в промежутке не выходят из промежутка или из того более широкого промежутка в котором непрерывна. При этом сложная функция есть непрерывная функция t в промежутке .

При высказанных предположениях, если ввести вместо новую переменную интегрирования

то определенный интеграл преобразуется по формуле

В самом деле, введем вместо рассматриваемых интегралов — интегралы с переменными пределами

В силу есть сложная функция

Вычисляя ее производную по правилу дифференцирования сложных функций, имеем

но, в силу свойства

из формулы же (22) следует

откуда

Вычислим теперь производную от функции ЧГ (t). В силу свойства VIII и сделанных нами предположений имеем

Функции рассматриваемые как функции от U имеют, таким образом, одинаковые производные в промежутке , а потому [89] могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, но при мы имеем

т. е. эти две функции равны при , а потому и при всех значениях t в промежутке . В частности, при имеем

что и требовалось доказать.

Весьма часто вместо подстановки (22):

употребляют обратную

Тогда пределы определяются сразу по формулам

но нужно здесь иметь в виду, что выражение (22) для которое получим, если решим уравнение (24) относительно должно удовлетворять всем указанным выше условиям, в частности, функция должна быть однозначной функцией от t. Если это свойство не соблюдено, то формула (23) может оказаться неверной

Введя в интеграле

вместо новую независимую переменную t по формула

в правой части формулы (23) получим интеграл с одинаковыми пределами равный, следовательно, нулю, что невозможно. Ошибка происходит вследствие того, что выражение через

есть функция многозначная.

Пример. Функция называется четной функцией если и нечетной функцией, если Например, есть четная функция и нечетная.

Покажем, что

если четная, и

если - нечетная.

Разобьем интеграл на два [94, IV]:

В первом интеграле совершим замену переменной и воспользуемся свойствами II и III [94]:

откуда, подставляя в предыдущую формулу,

Если — четная функция, то сумма равна , а если — нечетная, то эта сумма равна нулю, что и доказывает наше утверждение.