141. Гипергеометрический ряд.

Применим предыдущие общие соображения к так называемому гипергеометрическому ряду, или ряду Гаусса:

Некоторые функции, встречающиеся в приложениях, приводятся к таким рядам. Непосредственной подстановкой чисел а, (5 и у легко проверить, например, следующие равенства

Для исследования сходимости ряда (19) составим отношение последующего члена к предыдущему

т. е. по следствию из (121) ряд (19) сходится при и расходится при Остаются только случаи: Заметим еще, что при всех достаточно больших множители будут положительными, так что при все члены ряда при достаточно большом имеют один и тот же знак, а при получится при больших знакопеременный ряд.

В первом случае имеем, разлагая по формуле прогрессии (считая достаточно большим) и перемножая полученные абсолютно сходящиеся ряды почленно [138):

где величина остается ограниченной. Далее, в рассматриваемом случае, отбросив достаточно большое число начальных членов в ряде

мы получим ряд с членами одного знака, применяя к которому признак Гаусса, получаем абсолютную сходимость при

и расходимость при

Во втором случае, при мы получаем знакопеременный, начиная с некоторого члена, ряд

Мы имеем здесь, как и раньше

а потому, применяя дополнение к признаку Гаусса, получаем сходимость при

и расходимость при

В случае

можно показать, что общий член ряда стремится к пределу, отличному от нуля, т. е. ряд будет расходящимся [119]. Наконец, в случае

можно доказать, что абсолютные значения членов ряда, убывая, стремятся к нулю при т. е. [123] ряд будет сходящимся, но не абсолютно. На доказательстве этих двух последних утверждений мы останавливаться не будем.

Применяя это к разложению бинома

которое получается из произвольно) заменой а на их на и которое, как мы знаем, сходится при и расходится при получим, что написанный ряд будет:

Мы покажем дальше [149], что если ряд бинома сходится при то сумма его равна т. е., соответственно, или 0.

Заметим, что в предыдущем мы считали отличными от нуля и целого отрицательного числа. Для это важно, так как в противном случае члены ряда теряют смысл (знаменатель обращается в нуль), а если а или есть нуль или целое отрицательное число, то ряд обрывается и превращается в конечную сумму.