135. Максимумы, минимумы и точки перегиба.

Формула Тейлора позволяет сделать существенное дополнение к правилу нахождения максимума и минимума функций, изложенному в [58]. В дальнейшем мы считаем, что имеет непрерывные производные до порядка в точке и ее окрестности.

Если при обращаются в нуль первых производных функции

причем производная отлична от нуля, значение соответствует вершине кривой, если , т. е. порядок первой не обращающейся в нуль производной, есть число четное, и притом:

если же есть число нечетное, то значение соответствует не вершине, а точке перегиба?

Для доказательства нужно рассмотреть разности

где h — достаточно малое положительное число. По самому определению максимума и минимума [58] в точке будет максимум, если обе эти разности меньше нуля, минимум, если обе они больше нуля. Если же эти разности при сколь угодно малых положительных h будут разных знаков, то при не будет ни максимума, ни минимума. Разности же эти могут быть вычислены по формуле Тейлора, если подставить туда вместо а и ± h вместо h:

По условию:

значит,

При достаточно малом положительном h множители в силу предполагаемой непрерывности имеют одинаковый знак, а именно знак числа отличного от нуля.

Мы видели, что точка может быть вершиной тогда и только тогда, когда обе разности одинакового знака, и в силу сказанного сейчас это может случиться только, если число четное, ибо только тогда выражения будут иметь одинаковые знаки; в противном же случае, когда нечетное, множители будут разных знаков, и исследуемые разности также будут разных знаков.

Допустим теперь, что четное; тогда общий знак разностей совпадает со знаком Если то и мы имеем максимум; если же то и получаем минимум.

Если же — число нечетное, то, во всяком случае, для второй производной мы получаем из формулы Тейлора выражение:

откуда, рассуждая таким же образом, как и раньше, убеждаемся, что ввиду нечетности () функция обращаясь в нуль при меняет знак, т. е. значение соответствует точке перегиба [71], что и требовалось доказать.