2.9. Отрицательные частоты

Фурье-образ любой функции определен для всех значений (положительных и отрицательных). Нелегко объяснить физический смысл отрицательных частот. Действительно, проведенное выше в этой главе исследование

предполагало, что частоты могут быть разных знаков. В то же время все классические спектральные анализаторы и фурье-преобразователи вычисляют спектр и фурье-образы только для положительных частот. Может показаться, что в этом заключено противоречие, но на самом деле его нет. Когда некоторое устройство вычисляет фурье-образ физической функции, оно оперирует с вещественными функциями (полученными при измерениях), без мнимых составляющих. Используя затем соотношения (2.27), можно определить фурье-образ для отрицательных частот. Неучет части фурье-образа, соответствующей отрицательным частотам, может привести к большим погрешностям. Рассмотрим, например, фурье-образ функции

Поскольку функция - нечетная, фурье-образ — мнимая функция и

Фурье-преобразователь вычисляет часть фурье-образа, соответствующую положительным частотам:

Часть, соответствующая отрицательным частотам, имеет вид

Поэтому фурье-образ принимает форму

Легко проверить, что для фурье-образа справедливо равенство

Для вычисления фурье-образа комплексной функции (этот случай имеет место при использовании обратного преобразования Фурье) приходится последовательно вычислять мнимую и действительную части, применяя формулы (2.27).