12.6. Измерение динамических характеристик (переходных функций, импульсных характеристик) линейных систем. Идентификация процессов

Основы метода.

Предлагаемый здесь метод основан на непосредственном применении результатов разд. 11.5. Пусть — линейная система.

Рис. 12.7.

Известно, что такая система описывается импульсной характеристикой преобразованием Лапласа которой является передаточная функция. Входной сигнал преобразуется системой в сигнал причем сигналы на входе и выходе связаны между собой сверткой

или символически

Пусть - автокорреляционная функция входного сигнала - взаимная корреляционная функция сигналов Эти функции связаны тем же уравнением свертки, что и сами сигналы:

Если можно заменить функцией Дирака то из

выражения (12.74) следует

Итак, если автокорреляционная функция входного сигнала ведет себя как -функция, то взаимная корреляционная функция входного и выходного сигналов равна импульсной характеристике системы (рис. 12.7). Назовем тест-сигналом такой сигнал, который позволяет получить импульсную характеристику системы.

Сравнение с прямым импульсным методом.

Может показаться, что описанный метод не имеет никаких преимуществ по сравнению с классическим импульсным методом (рис. 12.8). Однако необходимо отметить, что при импульсном анализе энергия Е импульса равна площади, ограниченной его графиком, т. е. (рис. 12.8). Энергия Е, безусловно, ограничена, так как, с одной стороны, амплитуда I сигнала должна быть небольшой, чтобы можно было применить гипотезу о линейности системы, с другой стороны, должна быть малой ширина 0, чтобы данный импульс был подобен -функции (ширина 0 должна быть мала по сравнению с «продолжительностью» импульсной характеристики (рис. 12.9, б)). Поскольку энергия, которой располагают при измерениях, невелика, то из-за фоновых шумов, всегда сопровождающих измерения, точность оказывается низкой (рис. 12.10).

В корреляционном же методе энергия, равная ничем не ограничена (кроме времени интегрирования Т), поэтому точность измерений получается гораздо большей (рис. 12.11).

Изучение системы в процессе работы.

Большим преимуществом корреляционного метода при определении импульсной характеристики является то, что этот метод применим в процессе работы системы: тест-сигнал подается на вход одновременно с входным сигналом (рис. 12.12).

Так как независимы, то следовательно,

Если

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, мы располагаем средством определения импульсной характеристики системы в процессе ее работы, подавая на вход такой тест-сигнал что . Кроме того, можно подать тест-сигнал достаточно малой мощности, чтобы он практически не вносил искажений в работу системы.

Рис. 12.12.

Система, подверженная возмущениям.

Корреляционный метод применим также к системам, подверженным возмущению которое приводит к появлению третьей компоненты в выходном сигнале (рис. 12.13). В данном случае

Если

Это практически единственный метод, позволяющий измерить импульсную характеристику с помощью одного полного измерения. Точность измерений при прочих равных условиях зависит только от времени интегрирования Т (времени, в течение которого проводится измерение корреляционной функции). Кроме того, амплитуда тест-сигнала может быть такой малой, как это необходимо, что является очевидным преимуществом метода, так как тест-сигнал подается на вход работающей системы.

Изучение процесса путем простого наблюдения.

Корреляционный метод применим также в том случае, когда нельзя пользоваться тест-сигналом и приходится ограничиваться наблюдениями на входе и выходе системы. Если функции известны, то импульсную характеристику получают, исходя из свертки

Соответствующие расчеты несложно запрограммировать. Если бы мы применили уравнение свертки непосредственно к сигналам на входе и выходе то для получения удовлетворительной точности должны были бы численно обработать выборки для очень большого объема, в то время как предварительная обработка корреляционных функций приводит к значительному уменьшению данных, подлежащих обработке при решении уравнения свертки.

Рис. 12.13. (см. скан)

Кроме того, корреляционный метод избавляет нас еще от одной трудности: при отыскании функции по функциям некоторый момент времени берется в качестве начального, однако он не соответствует тому моменту, при котором имеют нулевые значения. В связи с этим нужно учитывать энергию, накопленную системой

Необходимые характеристики тест-сигнала. Псевдослучайный сигнал (двоичный сигнал).

Тест-сигнал должен быть таким, чтобы соотношение

сводилось к выражению

т. е.

Таким образом, необходимо, чтобы свертка не изменяла функцию . В пространстве частот условие (12.82) принимает вид

Это условие должно быть обязательно выполнено на промежутке, где функция отлична от нуля.

Рис. 12.14.

Рис. 12.15.

Так как для всех физических систем имеет ограниченную область определения (нет бесконечных частот), то для (рис. 12.14). В пространстве времени это условие означает, что должна быть много уже (рис. 12.15).

Для дальнейшего нам понадобятся результаты гл. 7, относящиеся к дискретизации сигнала. Рассмотрим функцию Умножая на прямоугольную функцию ширины мы снова получим функцию при условии, при

Рис. 12.16.

Аналогично, рассматривая вместо функцию которая представляет собой периодическое повторение функции с периодом Т (рис. 12.16), мы можем получить из нее если для

Итак, на промежутке функция совпадает с Следовательно, если имеется тест-сигнал, которому отвечает функция то его можно использовать при условии макс, где Тмакс такое значение что при

Периодическая функция с периодом Т не является уже корреляционной функцией случайного сигнала (шума), а соответствует периодическому сигналу. Итак, тест-сигнал должен удовлетворить следующим необходимым условиям:

• автокорреляционная функция сигнала должна иметь период, превосходящий заданную величину;

• периодически повторяющийся элемент автокорреляционной функции должен представлять достаточно узкую кривую (рис. 12.17).

Сигнал удовлетворяющий этим условиям, не является случайным, однако в данном случае он ведет себя как случайный. Поэтому называют псевдослучайным сигналом. Оказывается, псевдослучайный сигнал гораздо легче генерировать, чем случайный сигнал, особенно в области низких частот.

Существует, безусловно, много различных сигналов, автокорреляционные функции которых удовлетворяют сформулированным выше условиям. Мы рассмотрим один из них — сигнал, который особенно просто реализуется на практике. Этот сигнал

Рис. 12.17.

образован последовательностью импульсов переменной ширины, причем ширина каждого импульса является целым кратным некоторой минимальной ширины [2—4]. Амплитуда импульсов равна А (причем знаки импульсов чередуются таким образом, чтобы сигнал был центрирован), а длины промежутков между последовательными положительными (или отрицательными) зубцами также кратны величине (рис. 12.18).

Рис. 12.18.

Доказано, что из этих импульсов (попеременно положительных и отрицательных) можно составить такие конечные последовательности длины что соответствующая автокорреляционная функция будет изображаться графически равнобедренным треугольником с основанием . Если одну из таких последовательностей продолжить периодически на всю ось времени, то соответствующая автокорреляционная функция будет изображаться треугольниками, периодически повторяющимися с периодом (рис. 12.19).

Генерирование таких сигналов осуществляется довольно просто с помощью обычного сдвигового регистра, замкнутого на себя определенным образом. Если регистр содержит разрядов и имеет несущую частоту то автокорреляционная функция генерируемого сигнала представляет собой последовательность треугольников с основанием периодически повторяющихся с периодом Отсюда следует, что изменение тактовой частоты отражается на ширине периодической компоненты автокорреляционной функции, а изменение числа разрядов сдвигового регистра влияет на отношение периода к ширине.

Важные замечания.

1. Автокорреляционная функция псевдослучайного сигнала, который в действительности является периодическим, определяется интегралом

Эта функция изображается треугольником только тогда, когда промежуток интегрирования равен периоду или целому числу периодов. В противном случае автокорреляционная функция

будет иметь иной вид. Это означает, что нецелесообразно брать слишком большие значения (т. е. слишком большое число разрядов регистра), так как промежуток интегрирования может оказаться не равным периоду, что приводит к серьезным ошибкам (см. замечание 3).

Рис. 12.19.

В действительности значение Т выбирается таким образом, чтобы оно было сравнимо с длиной возможного промежутка интегрирования и с максимальным временным сдвигом автокорреляционной функции, который желают получить. При этом Т должно быть больше максимального временного сдвига, чтобы не проявилась периодичность автокорреляционной функции, период которой равен Т.

2. Одна из проблем, возникающих на практике, заключается в определении ширины 0, т. е. подходящей тактовой частоты. Распространенная и наиболее опасная ошибка связана с тем, что часто не решаются брать слишком малое значение 0, а берут большие значения, чтобы наблюдать отклик системы. Выше говорилось о том, что автокорреляционная функция псевдослучайного сигнала представляет собой последовательность равнобедренных треугольников с основанием 20. Предположим для упрощения записи, что высота треугольников равна 1/0, и рассмотрим треугольник, находящийся в начале координат, считая, что он один представляет автокорреляционную функцию. Его фурье-образ равен . Для наблюдения импульсной характеристики системы необходимо, чтобы в области, где соотношение отлично от нуля, функция была бы близка к 1. Пусть верхняя граница Предположим, что уменьшение обусловленное равно 10% (1 дБ). Тогда

Отсюда т. е. тактовая частота псевдослучайного сигнала должна быть в 5,5 раз больше

Если бы для взяли 3 дБ вместо 1 дБ, то получили бы

Отсюда т. е. требуемая тактовая частота должна быть в 3 раза больше верхней границы спектра системы.

Если же потребовать, чтобы уменьшение не превосходило .

3. Поставим еще один вопрос, менее важный, но интересный: как определить число импульсов конечной последовательности, формирующей сигнал? Если длительность искомой импульсной характеристики равна то нужно, чтобы Отсюда и тем более Следовательно,

Итак, число разрядов сдвигового регистра должно быть больше Как было сказано выше, автокорреляционная функция псевдослучайного сигнала изображается треугольником только при интегрировании по промежутку, длина которого равна целому числу периодов последовательности; не следует брать этот период предельно большим, нужно ограничиться наименьшим превосходящим Остается еще одна неизвестная величина — это Ее выбирают, руководствуясь условиями задачи, и затем проверяют правильность выбора каким-либо несложным измерением.

Реализация псевдослучайного, или двоично-кодированного сигнала с помощью сдвигового регистра.

Рассмотрим полином степени

коэффициенты которого принимают только два значения: 0 и 1. Назовем полином неприводимым, если он не делится ни на какой другой полином положительной степени того же типа.

Рассмотрим теперь сдвиговый регистр с разрядами, представляющий собой совокупность триггеров, в которой каждый управляющий импульс синхронизатора вызывает переход триггера с номером в состояние, в котором находился триггер с номером и переход триггера с номером в состояние, в котором находился триггер. Мы предполагаем, что сдвиговый регистр имеет отрицательную обратную связь по модулю 2. Это означает, что на его вход подается результат сложения по модулю 2 выходных символов, содержащихся в некоторых вполне определенных разрядах. Напомним, что сложение по модулю 2 осуществляется по правилу:

При соответствующем выборе обратных связей мы получим последовательность максимальной длины , где

— тактовый период. Автокорреляционная функция этой последовательности (при условии интегрирования по целому числу периодов Т) будет изображаться равнобедренными треугольниками с основанием 20, повторяющимися с периодом Т. Выбор обратных связей определяется неприводимыми полиномами степени. Эти полиномы приведены в таблицах в восьмеричной форме (в восьмеричной системе счисления) [4]. Чтобы определить их коэффициенты, надо перейти в двоичную систему, что очень просто сделать заменой каждой цифры числа в восьмеричной системе ее значением в двоичной системе.

Пример.

Пусть дано число 42103 в восьмеричной системе. Совершая переход в двоичную систему, найдем

Соответствующий полином имеет вид

Это означает, что для реализации обратной связи по модулю 2 надо взять выходы ячеек с номерами 1, 6, 10, 14.

(см. скан)

Эти полиномы приведены в книге Звездочка означает, что данному полиному соответствуют только две обратные связи. Такой регистр довольно просто конструируется с использованием двоичного полусумматора.

Другие примеры.

Сдвиговый регистр с 11 разрядами. Такому регистру отвечает полином 4005. Переходя в двоичную систему

получаем 100 000 000 101, т. е. полином Схема регистра приведена на рис. 12.20.

Рис. 12.20.

Рис. 12.21.

Сдвиговый регистр с 13 разрядами. По таблице находим полином 20033. Переходя в двоичную систему, находим число а затем полином Схема регистра приведена на рис. 12.21.

Трудности формирования псевдослучайного сигнала.

Автокорреляционная функция псевдослучайного сигнала изображается треугольником только при интегрировании по промежутку, длина которого равна целому числу периодов. Период равен где - тактовый период.

Вычислительный блок цифрового анализатора содержит слов сигнала, представленного в дискретной форме, следующих с частотой следовательно, должно выполняться равенство

Так как изменяются не непрерывно, а скачком, а и — целые числа, то добиться выполнения этого равенства очень трудно, или даже невозможно. Таким образом, в общем случае не удается выбрать промежуток интегрирования, длина которого равна целому числу периодов псевдослучайного

сигнала. Поэтому неизбежны ошибки при вычислении автокорреляционной функции псевдослучайного сигнала, а следовательно, и при вычислении его спектральной плотности, которая не может быть принята равной 1. Эту ошибку нетрудно свести к нескольким процентам. В разд. 12.8 будет описан такой способ. Он состоит в делении взаимного спектра входного и выходного процессов на спектр входного процесса. После этой процедуры нет необходимости полагать

Заключение.

Описанный метод идентификации процессов применим почти ко всем системам (в электротехнике, химии, гидравлике, механике и т. Одна из характерных особенностей метода заключается в возможности проведения измерений параметров системы во время ее работы. Это достигается использованием тест-сигналов очень малой амплитуды. Этот метод применим даже к нелинейным системам и дает возможность измерить их динамические характеристики в рабочей точке. В область его применения входят также различные процессы (механические, электрические, пневматические, химические), какой бы спектральной полосой они ни обладали. Таким образом, данный метод является весьма плодотворным и имеет разнообразные приложения. Он был уже апробирован при изучении характеристик химических процессов и механических систем в самолетостроении (моторов, крыльев и несущих плоскостей). Одно из интересных приложений данного метода нашло применение в ядерной физике для определения функции Грина некоторой среды (разд. 21.1).